Metode Determinan untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan linier yang terdiri dari beberapa variabel. Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode determinan. Metode ini melibatkan penggunaan matriks dan determinan untuk mencari nilai variabel yang memenuhi semua persamaan. Misalkan kita memiliki sistem persamaan linier berikut: \[ \begin{array}{l} 3x + y + z = 12 \\ x - 2y + 3z = 2 \\ 2x - y - z = 3 \end{array} \] Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini menggunakan metode determinan, kita perlu mengatur persamaan-persamaan ini dalam bentuk matriks. Bentuk matriks dari sistem persamaan ini adalah: \[ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \] Selanjutnya, kita perlu menghitung determinan dari matriks koefisien (matriks kiri) menggunakan aturan Sarrus atau aturan ekspansi kofaktor. Determinan dari matriks koefisien ini akan kita sebut sebagai determinan utama (D). Setelah kita memiliki determinan utama (D), kita perlu menghitung determinan dari matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom koefisien variabel x dengan kolom hasil (matriks kanan). Determinan dari matriks ini akan kita sebut sebagai determinan x (Dx). Selanjutnya, kita perlu menghitung determinan dari matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom koefisien variabel y dengan kolom hasil. Determinan dari matriks ini akan kita sebut sebagai determinan y (Dy). Terakhir, kita perlu menghitung determinan dari matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom koefisien variabel z dengan kolom hasil. Determinan dari matriks ini akan kita sebut sebagai determinan z (Dz). Setelah kita memiliki determinan utama (D), determinan x (Dx), determinan y (Dy), dan determinan z (Dz), kita dapat menggunakan rumus berikut untuk mencari nilai variabel x, y, dan z: \[ x = \frac{{Dx}}{{D}}, \quad y = \frac{{Dy}}{{D}}, \quad z = \frac{{Dz}}{{D}} \] Dengan menggunakan metode determinan, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan mudah dan akurat. Metode ini sangat berguna dalam berbagai bidang seperti matematika, fisika, dan teknik. Dalam contoh sistem persamaan di atas, setelah menghitung determinan utama (D), determinan x (Dx), determinan y (Dy), dan determinan z (Dz), kita dapat mencari nilai variabel x, y, dan z menggunakan rumus di atas. Dengan demikian, menggunakan metode determinan, kita dapat menentukan nilai \( x \), \( y \), dan \( z \) dari sistem persamaan linier tersebut.