Persamaan Lingkaran yang Berpusat di Titik (3,4) dan Menyinggung Garis \(x+y+5=0\)

Dalam matematika, lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari titik pusatnya. Persamaan umum dari lingkaran adalah \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \), di mana titik pusat lingkaran adalah \((a,b)\) dan jari-jari lingkaran adalah \(r\). Dalam kasus ini, kita memiliki lingkaran yang berpusat di titik \((3,4)\) dan menyinggung garis \(x+y+5=0\). Untuk menentukan persamaan lingkaran ini, kita perlu mencari jarak antara titik pusat lingkaran dan garis yang diberikan. Jarak antara titik \((x_0,y_0)\) dan garis \(Ax+By+C=0\) dapat dihitung menggunakan rumus: \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Dalam kasus ini, garis yang diberikan adalah \(x+y+5=0\), sehingga \(A=1\), \(B=1\), dan \(C=5\). Titik pusat lingkaran adalah \((3,4)\), sehingga \(x_0=3\) dan \(y_0=4\). Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus jarak, kita dapat menghitung jarak antara titik pusat lingkaran dan garis: \[d = \frac{|1(3) + 1(4) + 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3 + 4 + 5|}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\] Karena lingkaran ini menyinggung garis, jarak antara titik pusat lingkaran dan garis adalah jari-jari lingkaran. Oleh karena itu, jari-jari lingkaran adalah \(r = 6\sqrt{2}\). Dengan mengetahui titik pusat lingkaran \((3,4)\) dan jari-jari lingkaran \(r = 6\sqrt{2}\), kita dapat menentukan persamaan lingkaran ini. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan umum lingkaran: \[(x-3)^2 + (y-4)^2 = (6\sqrt{2})^2\] \[(x-3)^2 + (y-4)^2 = 72\] Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di titik \((3,4)\) dan menyinggung garis \(x+y+5=0\) adalah \(x^2 + y^2 - 6x - 8y - 47 = 0\).