Analisis Solusi Persamaan Differensial Orde Dua dengan Fungsi Delt

Persamaan differensial orde dua yang diberikan adalah \(y'' + 3y' + 2y = 10(\sin t + \delta(t-1))\) dengan kondisi awal \(y(0) = 1\) dan \(y'(0) = -1\). Dalam artikel ini, kita akan menganalisis solusi dari persamaan differensial ini dan memahami pengaruh fungsi delta pada solusi. Pertama-tama, mari kita tinjau solusi umum dari persamaan differensial homogen \(y'' + 3y' + 2y = 0\). Solusi umum dari persamaan ini dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari dua solusi linier independen, yaitu \(y_h(t) = c_1e^{-t} + c_2e^{-2t}\), di mana \(c_1\) dan \(c_2\) adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi awal. Selanjutnya, kita perlu mencari solusi partikular dari persamaan differensial non-homogen \(y'' + 3y' + 2y = 10(\sin t + \delta(t-1))\). Karena fungsi delta muncul dalam persamaan ini, kita perlu mempertimbangkan dua kasus terpisah: saat \(t

eq 1\) dan saat \(t = 1\). Untuk \(t

eq 1\), persamaan differensial non-homogen ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode variasi parameter. Solusi partikularnya dapat dituliskan sebagai \(y_p(t) = A(t)\sin t + B(t)\cos t\), di mana \(A(t)\) dan \(B(t)\) adalah fungsi yang harus ditentukan. Dengan menggantikan solusi ini ke dalam persamaan differensial, kita dapat menentukan bentuk dari \(A(t)\) dan \(B(t)\). Namun, saat \(t = 1\), fungsi delta muncul dalam persamaan differensial. Hal ini mengindikasikan adanya "loncatan" dalam solusi pada titik \(t = 1\). Untuk menentukan solusi pada titik ini, kita perlu menggunakan kondisi batas yang diberikan, yaitu \(y(1^-) = y(1^+)\) dan \(y'(1^-) = y'(1^+)\). Dengan menggunakan kondisi ini, kita dapat menentukan nilai dari \(A(1)\) dan \(B(1)\). Dengan menyelesaikan persamaan differensial ini, kita dapat menemukan solusi lengkapnya, yaitu \(y(t) = y_h(t) + y_p(t)\). Dalam artikel ini, kita akan menganalisis grafik solusi ini dan memahami pengaruh fungsi delta pada solusi. Dalam analisis grafik, kita akan melihat bagaimana solusi berubah saat \(t\) mendekati 1 dan saat \(t\) jauh dari 1. Kita juga akan memperhatikan perubahan dalam kecepatan dan percepatan solusi pada titik \(t = 1\). Dengan memahami solusi dari persamaan differensial ini, kita dapat mengaplikasikan konsep ini dalam berbagai bidang, seperti fisika, teknik, dan ekonomi.