Buktikan bahwa setiap subgroup dari grup siklik adalah subgroup normal

Dalam matematika, grup siklik adalah grup yang dihasilkan oleh satu elemen tunggal. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa setiap subgroup dari grup siklik adalah subgroup normal. Sebelum kita membuktikan pernyataan ini, mari kita definisikan terlebih dahulu apa itu subgroup normal. Sebuah subgroup H dari grup G disebut normal jika untuk setiap elemen a dalam G, aH = Ha. Dalam kata lain, jika a adalah elemen dari G dan h adalah elemen dari H, maka a * h juga merupakan elemen dari H. Pertama, mari kita asumsikan bahwa G adalah grup siklik yang dihasilkan oleh elemen g. Dalam hal ini, setiap elemen dalam G dapat ditulis sebagai g^n, di mana n adalah bilangan bulat. Sekarang, mari kita anggap H adalah subgroup dari G. Karena G adalah grup siklik, maka H juga harus siklik. Dengan kata lain, H juga dihasilkan oleh suatu elemen h dalam G. Oleh karena itu, setiap elemen dalam H dapat ditulis sebagai h^m, di mana m adalah bilangan bulat. Untuk membuktikan bahwa H adalah subgroup normal dari G, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap elemen a dalam G, aH = Ha. Misalkan a adalah elemen dalam G. Karena G adalah grup siklik, maka a dapat ditulis sebagai g^k, di mana k adalah bilangan bulat. Sekarang, mari kita lihat aH. aH adalah himpunan semua elemen yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dalam H dengan a. Dalam hal ini, elemen-elemen dalam H adalah h^m, sehingga aH dapat ditulis sebagai {g^k * h^m | m adalah bilangan bulat}. Demikian pula, mari kita lihat Ha. Ha adalah himpunan semua elemen yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dalam H dengan a. Dalam hal ini, elemen-elemen dalam H adalah h^m, sehingga Ha dapat ditulis sebagai {h^m * g^k | m adalah bilangan bulat}. Dari pernyataan di atas, kita dapat melihat bahwa aH = Ha. Oleh karena itu, H adalah subgroup normal dari G. Dalam artikel ini, kita telah membuktikan bahwa setiap subgroup dari grup siklik adalah subgroup normal. Hal ini menunjukkan hubungan yang kuat antara grup siklik dan subgroup normal. Penemuan ini memiliki implikasi penting dalam teori grup dan dapat digunakan dalam berbagai aplikasi matematika. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap subgroup dari grup siklik adalah subgroup normal.