Mencari Nilai \( (a, b) \) yang Memenuhi Persamaan \( \sqrt{a} \sqrt{16^{b}}=\sqrt{32} \)

Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai \( (a, b) \) yang memenuhi persamaan \( \sqrt{a} \sqrt{16^{b}}=\sqrt{32} \). Persamaan ini melibatkan akar kuadrat dan eksponen, sehingga kita perlu menggunakan beberapa konsep matematika dasar untuk menyelesaikannya. Pertama, mari kita perhatikan bahwa kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggabungkan akar kuadrat dan eksponen. Kita tahu bahwa \( \sqrt{16^{b}} \) sama dengan \( 16^{\frac{b}{2}} \), karena akar kuadrat dan eksponen adalah operasi yang saling terbalik. Dengan demikian, persamaan kita menjadi \( \sqrt{a} \cdot 16^{\frac{b}{2}} = \sqrt{32} \). Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan akar kuadrat dari 32 menjadi 4, karena 4^2 = 16. Jadi, persamaan kita menjadi \( \sqrt{a} \cdot 16^{\frac{b}{2}} = 4 \). Sekarang, kita perlu mengekspresikan 16^{\frac{b}{2}} dalam bentuk akar kuadrat. Kita tahu bahwa 16 = 4^2, jadi kita dapat menulis 16^{\frac{b}{2}} sebagai (4^2)^{\frac{b}{2}} = 4^{b}. Jadi, persamaan kita menjadi \( \sqrt{a} \cdot 4^{b} = 4 \). Kita dapat mempermudah persamaan ini dengan membagi kedua sisi dengan 4. Jadi, kita mendapatkan \( \sqrt{a} \cdot 4^{b-1} = 1 \). Sekarang, kita perlu memperhatikan bahwa akar kuadrat dari 1 adalah 1. Jadi, persamaan kita menjadi \( \sqrt{a} \cdot 4^{b-1} = 1 \). Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menghilangkan akar kuadrat. Jadi, kita mendapatkan \( a \cdot 4^{b-1} = 1 \). Sekarang, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mencari nilai \( (a, b) \) yang memenuhinya. Misalkan kita mengasumsikan \( b = 1 \). Jadi, persamaan kita menjadi \( a \cdot 4^{1-1} = 1 \), yang dapat disederhanakan menjadi \( a \cdot 4^0 = 1 \). Kita tahu bahwa 4^0 = 1, jadi persamaan kita menjadi \( a \cdot 1 = 1 \), yang berarti \( a = 1 \). Jadi, kita telah menemukan satu pasangan nilai \( (a, b) \) yang memenuhi persamaan \( \sqrt{a} \sqrt{16^{b}}=\sqrt{32} \), yaitu \( (1, 1) \). Namun, kita perlu memeriksa apakah ada pasangan nilai lain yang memenuhi persamaan ini. Untuk itu, kita perlu mempertimbangkan kasus ketika \( b

eq 1 \). Dalam kasus ini, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( 4^{b-1} \). Jadi, kita mendapatkan \( \sqrt{a} = \frac{1}{4^{b-1}} \). Kita tahu bahwa akar kuadrat dari 1 adalah 1. Jadi, persamaan kita menjadi \( \frac{1}{4^{b-1}} = 1 \). Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan \( 4^{b-1} \). Jadi, kita mendapatkan \( 1 = 4^{b-1} \). Namun, kita tahu bahwa 4^{b-1} tidak akan pernah sama dengan 1, kecuali jika \( b-1 = 0 \). Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa tidak ada pasangan nilai \( (a, b) \) lain yang memenuhi persamaan ini. Jadi, satu-satunya pasangan nilai \( (a, b) \) yang memenuhi persamaan \( \sqrt{a} \sqrt{16^{b}}=\sqrt{32} \) adalah \( (1, 1) \).