Menentukan Fungsi $f(x)$ Berdasarkan $g(x)$ dan $(f \circ g)(x)$

Dalam matematika, sering kali kita diberikan dua fungsi dan diminta untuk menentukan fungsi ketiga yang terkait dengan kedua fungsi tersebut. Dalam kasus ini, kita diberikan fungsi $g(x) = x + 1$ dan $(f \circ g)(x) = x^2 + 3x + 1$. Tugas kita adalah menentukan fungsi $f(x)$ berdasarkan informasi ini. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan konsep komposisi fungsi. Komposisi fungsi adalah operasi matematika yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi baru. Dalam hal ini, kita ingin menemukan fungsi $f(x)$ yang, ketika dikomposisikan dengan $g(x)$, menghasilkan $(f \circ g)(x)$. Langkah pertama adalah mengekstrak fungsi $g(x)$ dari $(f \circ g)(x)$. Dalam kasus ini, kita dapat melihat bahwa $(f \circ g)(x) = x^2 + 3x + 1$. Karena $g(x) = x + 1$, kita dapat menggantikan $g(x)$ dengan $x + 1$ dalam persamaan tersebut: $(f \circ g)(x) = f(x + 1) = x^2 + 3x + 1$ Sekarang kita memiliki persamaan yang menghubungkan $f(x + 1)$ dengan $x^2 + 3x + 1$. Untuk menemukan fungsi $f(x)$, kita perlu menghilangkan variabel $x + 1$ dari persamaan tersebut. Kita dapat mencapai ini dengan menggantikan $x + 1$ dengan $u$: $f(u) = u^2 + 3u + 1$ Sekarang kita memiliki persamaan yang hanya melibatkan $u$ dan $f(u)$. Kita dapat mengganti $u$ dengan $x + 1$ untuk mendapatkan fungsi $f(x)$: $f(x + 1) = (x + 1)^2 + 3(x + 1) + 1$ Menggabungkan suku-suku yang serupa, kita dapat menyederhanakan persamaan ini: $f(x + 1) = x^2 + 2x + 1 + 3x + 3 + 1$ $f(x + 1) = x^2 + 5x + 5$ Jadi, fungsi $f(x)$ berdasarkan $g(x) = x + 1$ dan $(f \circ g)(x) = x^2 + 3x + 1$ adalah $f(x) = x^2 + 5x + 5$. Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada masalah seperti ini di mana kita harus menentukan fungsi berdasarkan informasi yang diberikan. Dengan memahami konsep komposisi fungsi dan menggunakan aljabar, kita dapat dengan mudah menyelesaikan masalah semacam ini.