Himpunan Penyelesaian dari Persamaan Trigonometri

Dalam matematika, persamaan trigonometri seringkali menjadi bagian yang menantang dalam pemecahan masalah. Salah satu jenis persamaan trigonometri yang sering muncul adalah persamaan sinus. Dalam artikel ini, kita akan membahas tentang himpunan penyelesaian dari persamaan sinus dengan sudut ganda. Persamaan sinus dengan sudut ganda dapat dituliskan sebagai \( \sin 2x = \sin \frac{4}{5} \pi \). Kita diminta untuk mencari himpunan penyelesaian dari persamaan ini untuk \( 0 \leq x \leq 2 \pi \). Untuk memecahkan persamaan ini, kita perlu menggunakan beberapa sifat trigonometri yang berguna. Salah satu sifat yang dapat kita gunakan adalah sifat periodik dari fungsi sinus. Fungsi sinus memiliki periode \( 2 \pi \), yang berarti bahwa nilai sinus dari dua sudut yang terletak pada jarak \( 2 \pi \) akan sama. Dalam persamaan kita, kita memiliki \( \sin 2x \) dan \( \sin \frac{4}{5} \pi \). Karena kedua nilai ini harus sama, kita dapat menuliskan persamaan sebagai \( 2x = \frac{4}{5} \pi + 2k \pi \), dengan \( k \) adalah bilangan bulat. Selanjutnya, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk \( x \). Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan 2, kita mendapatkan \( x = \frac{2}{5} \pi + k \pi \). Namun, kita harus memperhatikan batasan \( 0 \leq x \leq 2 \pi \). Kita perlu mencari nilai-nilai \( k \) yang memenuhi batasan ini. Dalam hal ini, kita dapat mencoba beberapa nilai \( k \) dan melihat apakah nilai \( x \) yang dihasilkan berada dalam rentang yang diizinkan. Setelah mencoba beberapa nilai \( k \), kita dapat menemukan bahwa himpunan penyelesaian dari persamaan ini adalah \( \left\{\frac{1}{10} \pi, \frac{3}{5} \pi, \frac{11}{10} \pi, \frac{7}{5} \pi\right\} \). Dengan demikian, jawaban yang benar untuk kebutuhan artikel ini adalah pilihan A: \( \left\{\frac{1}{10} \pi, \frac{3}{5} \pi, \frac{11}{10} \pi, \frac{7}{5} \pi\right\} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas tentang himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri dengan sudut ganda. Kita menggunakan sifat periodik dari fungsi sinus untuk menyelesaikan persamaan ini dan memperhatikan batasan yang diberikan. Semoga artikel ini dapat membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik.