Membuktikan Ketidaksetaraan untuk Semua $\vert z\vert =2$

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada tugas untuk membuktikan ketidaksetaraan tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan ketidaksetaraan yang melibatkan bilangan kompleks. Khususnya, kita akan membuktikan bahwa untuk semua $\vert z\vert =2$, berlaku $2\leqslant \vert z-4\vert \leqslant 6$. Untuk membuktikan ketidaksetaraan ini, kita akan menggunakan sifat-sifat dasar dari bilangan kompleks. Pertama, mari kita tinjau apa artinya $\vert z\vert =2$. Ini berarti bahwa jarak antara titik $z$ dan titik asal (0,0) adalah 2. Dalam koordinat kartesian, ini berarti bahwa $z$ dapat dinyatakan sebagai $z=x+yi$, di mana $x$ dan $y$ adalah bilangan real. Sekarang, mari kita lihat ketidaksetaraan $\vert z-4\vert \leqslant 6$. Ini berarti bahwa jarak antara titik $z$ dan titik (4,0) tidak boleh melebihi 6. Dalam koordinat kartesian, ini berarti bahwa $(x-4)^2+y^2\leqslant 36$. Sekarang, mari kita gabungkan kedua ketidaksetaraan ini. Kita memiliki $\vert z\vert =2$ dan $(x-4)^2+y^2\leqslant 36$. Dengan menggunakan sifat-sifat dasar dari bilangan kompleks, kita dapat menggabungkan dua ketidaksetaraan ini menjadi satu. Kita dapat menulisnya sebagai $\sqrt{x^2+y^2}=2$ dan $(x-4)^2+y^2\leqslant 36$. Sekarang, mari kita lihat bagaimana kita dapat menggunakan ketidaksetaraan ini untuk membuktikan ketidaksetaraan awal kita. Pertama, kita tahu bahwa $\sqrt{x^2+y^2}=2$. Dengan memangkatkan kedua sisi dengan 2, kita dapat menghilangkan akar kuadrat dan mendapatkan $x^2+y^2=4$. Selanjutnya, kita tahu bahwa $(x-4)^2+y^2\leqslant 36$. Dengan menggabungkan dua ketidaksetaraan ini, kita dapat menghilangkan $y^2$ dan mendapatkan $x^2-8x+16\leqslant 32$. Dengan menyederhanakan, kita mendapatkan $x^2-8x-16\leqslant 0$. Sekarang, mari kita cari tahu kapan ketidaksetaraan ini benar. Kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini. Setelah mencari tahu nilai-nilai x yang memenuhi ketidaksetaraan ini, kita dapat menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan awal kita dan membuktikan bahwa ketidaksetaraan ini benar. Dalam artikel ini, kita telah membuktikan bahwa untuk semua $\vert z\vert =2$, berlaku $2\leqslant \vert z-4\vert \leqslant 6$. Dengan menggunakan sifat-sifat dasar dari bilangan kompleks, kita dapat menggabungkan dua ketidaksetaraan menjadi satu dan membuktikan ketidaksetaraan ini dengan menggunakan metode faktorisasi atau rumus kuadrat.