Analisis Fungsi Kuadrat $f(x) = x^2 - 2x - 3$ dalam Rentang $-2 \leqslant x \leqslant 4$

Fungsi kuadrat adalah salah satu jenis fungsi matematika yang memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis fungsi kuadrat spesifik $f(x) = x^2 - 2x - 3$ dalam rentang $-2 \leqslant x \leqslant 4$. Pertama-tama, mari kita cari titik-titik penting dari fungsi ini. Untuk menemukan titik-titik penting, kita perlu mencari nilai-nilai $x$ di mana $f(x) = 0$. Dalam hal ini, kita perlu mencari akar-akar dari persamaan $x^2 - 2x - 3 = 0$. Dengan menggunakan metode faktorisasi atau rumus kuadrat, kita dapat menemukan bahwa akar-akar persamaan ini adalah $x = -1$ dan $x = 3$. Oleh karena itu, titik-titik penting dari fungsi ini adalah $(-1, 0)$ dan $(3, 0)$. Selanjutnya, mari kita analisis tanda-tanda fungsi ini dalam rentang $-2 \leqslant x \leqslant 4$. Untuk melakukannya, kita dapat memilih beberapa titik uji di dalam rentang ini, misalnya $x = -2$, $x = 0$, dan $x = 4$. Dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam fungsi, kita dapat menentukan tanda-tanda fungsi di setiap interval. Jika kita menggantikan $x = -2$ ke dalam fungsi, kita mendapatkan $f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Oleh karena itu, fungsi ini positif di interval $-2 \leqslant x < -1$. Jika kita menggantikan $x = 0$ ke dalam fungsi, kita mendapatkan $f(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$. Oleh karena itu, fungsi ini negatif di interval $-1 < x < 3$. Jika kita menggantikan $x = 4$ ke dalam fungsi, kita mendapatkan $f(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Oleh karena itu, fungsi ini positif di interval $3 < x \leqslant 4$. Dari analisis tanda-tanda ini, kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat ini dalam rentang $-2 \leqslant x \leqslant 4$. Grafik ini akan memiliki bentuk parabola dengan lengan terbuka ke atas, dan akan melalui titik-titik penting $(-1, 0)$ dan $(3, 0)$. Selain itu, kita juga dapat melihat bahwa fungsi ini mencapai nilai minimum di titik $(-1, 0)$ dan nilai maksimum di titik $(3, 0)$. Oleh karena itu, rentang fungsi ini adalah $0 \leqslant y \leqslant 0$. Dalam kesimpulan, fungsi kuadrat $f(x) = x^2 - 2x - 3$ dalam rentang $-2 \leqslant x \leqslant 4$ memiliki dua titik penting, yaitu $(-1, 0)$ dan $(3, 0)$. Grafik fungsi ini berbentuk parabola dengan lengan terbuka ke atas dan mencapai nilai minimum di $(-1, 0)$ serta nilai maksimum di $(3, 0)$. Rentang fungsi ini adalah $0 \leqslant y \leqslant 0$.