Menemukan Persamaan Fungsi Kuadrat yang Melalui Titik Puncak $(2,0)$ dan $(0,4)$

Pendahuluan: Dalam matematika, fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta. Dalam kasus ini, kita diminta untuk menemukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui dua titik, $(2,0)$ dan $(0,4)$. Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menentukan nilai-nilai konstanta $a$, $b$, dan $c$, dan menulis persamaan fungsi kuadrat yang lengkap.

Bagian 1: Menggunakan Titik $(2,0)$

Ketika kita memasukkan titik $(2,0)$ ke dalam persamaan fungsi kuadrat, kita mendapatkan:

$f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 0$

$4a + 2b + c = 0$

Karena kita tahu bahwa titik $(2,0)$ berada di grafik fungsi kuadrat, maka nilai $f(2)$ harus sama dengan 0. Oleh, kita dapat menyimpulkan bahwa $4a + 2b + c = 0$.

Bagian 2: Menggunakan Titik $(0,4)$

Ketika kita memasukkan titik $(0,4)$ ke dalam persamaan fungsi kuadrat, kita mendapatkan:

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 4$

$c = 4$

Karena kita tahu bahwa titik $(0,4)$ berada di grafik fungsi kuadrat, maka nilai $f(0)$ harus sama dengan 4. Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa $c = 4$.

Bagian 3: Menentukan Nilai $a$ dan $b$

Sekarang kita tahu bahwa $c = 4$, kita dapat menggunakan persamaan $4a + 2b + 4 = 0$ untuk menentukan nilai $a$ dan $b$. Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, kita mendapatkan:

$4a + 2b + 4 = 0$

$4a + 2b = -4$

$a + b = -1$

Karena kita tahu bahwa $a + b = -1$, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai $a$ dan $b$ adalah $-\frac{1}{2}$.

Bagian 4: Menulis Persamaan Fungsi Kuadrat yang Lengkap

Sekarang kita telah menentukan nilai-nilai konstanta $a$, $b$, dan $c$, kita dapat menulis persamaan fungsi kuadrat yang lengkap. Dengan menggabungkan nilai-nilai yang kita temukan, kita mendapatkan:

$f(x) = a(x^2) + b(x) + c = a(x^2) - \frac{1}{2}x + 4$

Karena kita tahu bahwa $a = -\frac{1}{2}$, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan fungsi kuadrat yang lengkap adalah:

$f(x) = -\frac{1}{2}(x^2) - \frac{1}{2}x + 4 = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 4$

Kesimpulan: Dengan menggunakan titik-titik $(2,0)$ dan $(0,4)$, kita telah menemukan bahwa persamaan fungsi kuadrat yang melalui kedua titik tersebut adalah $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 4$.