Menghitung Determinan dari Invers Matriks

Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi. Salah satu operasi yang sering dilakukan pada matriks adalah mencari inversnya. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana mencari determinan dari invers matriks. Untuk memulai, kita akan menggunakan contoh matriks \( A=\left[\begin{array}{ll}-4 & 1 \\ -5 & 5\end{array}\right] \). Langkah pertama dalam mencari invers matriks adalah menghitung determinan dari matriks tersebut. Determinan matriks \( A \) dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut: \[ \text{det}(A) = ad - bc \] Di mana \( a \), \( b \), \( c \), dan \( d \) adalah elemen-elemen matriks \( A \). Dalam contoh kita, \( a = -4 \), \( b = 1 \), \( c = -5 \), dan \( d = 5 \). Mari kita hitung determinan dari matriks \( A \): \[ \text{det}(A) = (-4)(5) - (1)(-5) = -20 + 5 = -15 \] Setelah kita mengetahui determinan dari matriks \( A \), kita dapat mencari inversnya. Invers matriks \( A \), yang ditulis sebagai \( A^{-1} \), dapat dihitung dengan rumus berikut: \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A) \] Di mana \( \text{adj}(A) \) adalah matriks adjoin dari matriks \( A \). Matriks adjoin dari matriks \( A \) dapat dihitung dengan menukar elemen-elemen diagonal utama dan mengubah tanda elemen-elemen di luar diagonal utama. Dalam contoh kita, matriks adjoin dari matriks \( A \) adalah: \[ \text{adj}(A) = \left[\begin{array}{ll}5 & -1 \\ 5 & -4\end{array}\right] \] Sekarang kita dapat menghitung invers matriks \( A \) dengan menggunakan rumus di atas: \[ A^{-1} = \frac{1}{-15} \cdot \left[\begin{array}{ll}5 & -1 \\ 5 & -4\end{array}\right] \] Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan invers matriks \( A \). Namun, dalam artikel ini, kita hanya perlu mencari determinan dari \( A^{-1} \). Untuk itu, kita dapat menggunakan rumus yang sama seperti sebelumnya: \[ \text{det}(A^{-1}) = ad - bc \] Di mana \( a \), \( b \), \( c \), dan \( d \) adalah elemen-elemen matriks \( A^{-1} \). Dalam contoh kita, \( a = 5 \), \( b = -1 \), \( c = 5 \), dan \( d = -4 \). Mari kita hitung determinan dari matriks \( A^{-1} \): \[ \text{det}(A^{-1}) = (5)(-4) - (-1)(5) = -20 + 5 = -15 \] Dengan demikian, determinan dari \( A^{-1} \) adalah -15. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana mencari determinan dari invers matriks. Langkah-langkah yang dijelaskan di atas dapat digunakan untuk mencari determinan dari invers matriks apapun.