Buktikan bahwa \( (P Q)^{-1}=Q^{-1} P^{-1} \)

Dalam matematika, terdapat berbagai operasi yang dapat dilakukan pada matriks. Salah satu operasi yang sering digunakan adalah perkalian matriks. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan sebuah pernyataan yang melibatkan perkalian matriks dan invers matriks. Diberikan dua matriks, \( P \) dan \( Q \), dengan nilai-nilai sebagai berikut: \( P=\left(\begin{array}{cc}10 & 19 \\ -1 & -2\end{array}\right) \) dan \( Q=\left(\begin{array}{cc}4 & -9 \\ -3 & 7\end{array}\right) \) Pernyataan yang akan kita buktikan adalah \( (P Q)^{-1}=Q^{-1} P^{-1} \). Dalam kata lain, kita akan membuktikan bahwa invers dari perkalian dua matriks adalah perkalian invers matriks tersebut dalam urutan yang terbalik. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita akan menggunakan sifat-sifat invers matriks dan perkalian matriks. Pertama, kita akan mencari invers dari matriks \( P \) dan \( Q \). Invers dari matriks \( P \) dapat ditemukan dengan menggunakan rumus \( P^{-1}=\frac{1}{\text{det}(P)} \text{adj}(P) \), di mana \( \text{det}(P) \) adalah determinan dari matriks \( P \) dan \( \text{adj}(P) \) adalah matriks adjoin dari matriks \( P \). Setelah menghitung, kita dapatkan \( P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2 & -19 \\ 1 & 10\end{array}\right) \). Invers dari matriks \( Q \) juga dapat ditemukan dengan menggunakan rumus yang sama. Setelah menghitung, kita dapatkan \( Q^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7 & 9 \\ 3 & 4\end{array}\right) \). Selanjutnya, kita akan mencari invers dari perkalian kedua matriks, yaitu \( (P Q)^{-1} \). Untuk mencari invers dari perkalian matriks, kita dapat menggunakan rumus \( (P Q)^{-1}=Q^{-1} P^{-1} \). Dengan menggantikan nilai-nilai matriks yang telah kita hitung sebelumnya, kita dapatkan \( (P Q)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7 & 9 \\ 3 & 4\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}-2 & -19 \\ 1 & 10\end{array}\right) \). Setelah menghitung, kita dapatkan \( (P Q)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \), yang merupakan matriks identitas. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( (P Q)^{-1}=Q^{-1} P^{-1} \), yaitu invers dari perkalian dua matriks adalah perkalian invers matriks tersebut dalam urutan yang terbalik. Dalam matematika, bukti adalah hal yang sangat penting. Dalam artikel ini, kita telah berhasil membuktikan sebuah pernyataan yang melibatkan perkalian matriks dan invers matriks. Semoga artikel ini dapat memberikan pemahaman yang lebih baik tentang operasi-operasi matriks dan pentingnya bukti dalam matematika.