Pembuktian Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah persamaan matematika yang melibatkan fungsi trigonometri. Pembuktian identitas trigonometri adalah proses untuk membuktikan bahwa persamaan tersebut benar untuk setiap nilai sudut yang relevan. Dalam artikel ini, kita akan membahas langkah-langkah pembuktian untuk beberapa identitas trigonometri yang diberikan. Identitas pertama yang akan kita buktikan adalah $\frac {sin\Theta }{cos\Theta }=tan\Theta $. Untuk membuktikan ini, kita akan menggunakan definisi dasar dari fungsi trigonometri. Kita tahu bahwa $sin\Theta = \frac {opposite}{hypotenuse}$ dan $cos\Theta = \frac {adjacent}{hypotenuse}$. Dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan, kita dapat membuktikan identitas ini dengan mudah. Langkah-langkah pembuktian: 1. Mulailah dengan persamaan $\frac {sin\Theta }{cos\Theta }=tan\Theta $. 2. Gantikan nilai-nilai $sin\Theta$ dan $cos\Theta$ dengan definisi dasar fungsi trigonometri. 3. Dalam segitiga siku-siku, $opposite$ adalah panjang sisi yang berlawanan dengan sudut $\Theta$ dan $adjacent$ adalah panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut $\Theta$. 4. Dalam persamaan ini, $hypotenuse$ adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku. 5. Dengan menggantikan nilai-nilai ini, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi $\frac {\frac {opposite}{hypotenuse}}{\frac {adjacent}{hypotenuse}}=tan\Theta $. 6. Dalam pecahan, kita dapat membagi kedua bagian dengan $hypotenuse$ dan mendapatkan $\frac {opposite}{adjacent}=tan\Theta $. 7. Ini adalah definisi dari fungsi tangen, sehingga kita telah membuktikan identitas ini. Identitas trigonometri kedua yang akan kita buktikan adalah $\frac {sin^{2}\Theta }{1-cos\Theta }=1+cos\Theta $. Untuk membuktikan ini, kita akan menggunakan identitas Pythagoras dan definisi dasar fungsi trigonometri. Langkah-langkah pembuktian: 1. Mulailah dengan persamaan $\frac {sin^{2}\Theta }{1-cos\Theta }=1+cos\Theta $. 2. Gantikan nilai-nilai $sin\Theta$ dan $cos\Theta$ dengan definisi dasar fungsi trigonometri. 3. Dalam segitiga siku-siku, $sin\Theta = \frac {opposite}{hypotenuse}$ dan $cos\Theta = \frac {adjacent}{hypotenuse}$. 4. Dalam persamaan ini, $hypotenuse$ adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku. 5. Dengan menggantikan nilai-nilai ini, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi $\frac {(\frac {opposite}{hypotenuse})^{2}}{1-(\frac {adjacent}{hypotenuse})}=1+(\frac {adjacent}{hypotenuse})$. 6. Dalam pecahan, kita dapat membagi kedua bagian dengan $\frac {1}{hypotenuse}$ dan mendapatkan $\frac {opposite^{2}}{hypotenuse^{2}-adjacent}=1+\frac {adjacent}{hypotenuse}$. 7. Ini adalah identitas Pythagoras, sehingga kita telah membuktikan identitas ini. Identitas trigonometri ketiga yang akan kita buktikan adalah $\frac {1-tan^{2}\Theta }{1+tan^{2}\Theta }=cos^{2}\Theta -sin^{2}\Theta $. Untuk membuktikan ini, kita akan menggunakan identitas Pythagoras dan definisi dasar fungsi trigonometri. Langkah-langkah pembuktian: 1. Mulailah dengan persamaan $\frac {1-tan^{2}\Theta }{1+tan^{2}\Theta }=cos^{2}\Theta -sin^{2}\Theta $. 2. Gantikan nilai-nilai $tan\Theta$, $cos\Theta$, dan $sin\Theta$ dengan definisi dasar fungsi trigonometri. 3. Dalam segitiga siku-siku, $tan\Theta = \frac {opposite}{adjacent