Menentukan Turunan dari Fungsi Komposit

Dalam matematika, fungsi komposit adalah kombinasi dari dua atau lebih fungsi yang digabungkan menjadi satu fungsi baru. Dalam kasus ini, kita akan mempelajari bagaimana menentukan turunan dari fungsi komposit. Misalkan \( f \) dan \( g \) adalah fungsi yang terdefinisi dan terturunkan di semua bilangan riil. Kita diberikan informasi berikut tentang fungsi-fungsi ini: \( f(1) = 2 \) \( f'(2) = 2 \) \( g(1) = 0 \) \( g'(3) = 3 \) \( f'(1) = 1 \) \( f(3) = 4 \) \( g'(1) = 2 \) \( g(4) = 3 \) \( f(2) = 3 \) \( f'(3) = 3 \) \( g(3) = 1 \) \( g'(4) = 4 \) Kita diminta untuk menentukan turunan dari fungsi \( h(x) = f(x) \cdot g(4x) \) pada titik \( x = 1 \), yaitu \( h'(1) \). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan aturan rantai dalam kalkulus. Aturan rantai menyatakan bahwa jika \( y = f(u) \) dan \( u = g(x) \), maka turunan dari \( y \) terhadap \( x \) dapat dihitung dengan mengalikan turunan \( y \) terhadap \( u \) dengan turunan \( u \) terhadap \( x \). Dalam kasus ini, kita memiliki \( h(x) = f(x) \cdot g(4x) \). Kita dapat menganggap \( f(x) \) sebagai \( y \) dan \( g(4x) \) sebagai \( u \). Dengan demikian, kita dapat menulis \( h(x) = y \cdot u \). Pertama, kita perlu menghitung turunan \( f(x) \) dan \( g(4x) \). Berdasarkan informasi yang diberikan, kita tahu bahwa \( f'(1) = 1 \), \( f'(2) = 2 \), \( f'(3) = 3 \), \( g'(1) = 2 \), \( g'(3) = 3 \), dan \( g'(4) = 4 \). Selanjutnya, kita perlu menghitung \( f(1) \), \( f(2) \), \( f(3) \), \( g(1) \), \( g(3) \), dan \( g(4) \). Berdasarkan informasi yang diberikan, kita tahu bahwa \( f(1) = 2 \), \( f(2) = 3 \), \( f(3) = 4 \), \( g(1) = 0 \), \( g(3) = 1 \), dan \( g(4) = 3 \). Sekarang kita dapat menghitung turunan \( h(x) \) menggunakan aturan rantai. Kita perlu mengalikan turunan \( f(x) \) dengan turunan \( g(4x) \) dan mengevaluasinya pada titik \( x = 1 \). \( h'(x) = f'(x) \cdot g'(4x) \) \( h'(1) = f'(1) \cdot g'(4 \cdot 1) \) \( h'(1) = 1 \cdot g'(4) \) \( h'(1) = 1 \cdot 4 \) \( h'(1) = 4 \) Jadi, turunan dari fungsi \( h(x) = f(x) \cdot g(4x) \) pada titik \( x = 1 \) adalah \( h'(1) = 4 \).