Solusi Persamaan Diferensial Orde Pertama dengan Kondisi Awal

Persamaan diferensial orde pertama yang diberikan adalah $xy'+4y=8x^{4}$ dengan kondisi awal $y(1)=2$. Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita akan menggunakan metode pemisahan variabel. Langkah pertama adalah memisahkan variabel dengan memindahkan semua suku yang mengandung $y$ ke satu sisi persamaan dan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi lainnya. Dalam hal ini, kita akan memindahkan suku $4y$ ke sisi kiri dan suku $8x^{4}$ ke sisi kanan: $xy' = 8x^{4} - 4y$ Langkah berikutnya adalah membagi kedua sisi persamaan dengan $x$: $y' = \frac{8x^{4}}{x} - \frac{4y}{x}$ Sekarang, kita dapat menulis persamaan ini dalam bentuk diferensial: $y' = 8x^{3} - \frac{4y}{x}$ Selanjutnya, kita akan memisahkan variabel dengan memindahkan suku yang mengandung $y$ ke satu sisi persamaan dan suku yang mengandung $x$ ke sisi lainnya: $\frac{dy}{dx} + \frac{4y}{x} = 8x^{3}$ Persamaan ini sekarang berada dalam bentuk diferensial yang lebih sederhana. Untuk menyelesaikannya, kita akan menggunakan metode faktor integrasi. Faktor integrasi diberikan oleh $e^{\int \frac{4}{x} dx}$. Untuk menghitung integral ini, kita dapat menggunakan aturan pangkat: $\int \frac{4}{x} dx = 4 \ln|x| + C$ Sehingga, faktor integrasi menjadi $e^{4 \ln|x| + C} = e^{4 \ln|x|} \cdot e^{C} = |x|^{4} \cdot e^{C}$. Kemudian, kita akan mengalikan faktor integrasi dengan kedua sisi persamaan diferensial: $|x|^{4} \cdot e^{C} \cdot \frac{dy}{dx} + |x|^{4} \cdot e^{C} \cdot \frac{4y}{x} = |x|^{4} \cdot e^{C} \cdot 8x^{3}$ Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan memperhatikan bahwa $|x|^{4} \cdot e^{C}$ adalah konstanta: $\frac{d}{dx} (|x|^{4} \cdot e^{C} \cdot y) = 8x^{3} \cdot |x|^{4} \cdot e^{C}$ Integrasi kedua sisi persamaan akan memberikan solusi umum dari persamaan diferensial ini: $|x|^{4} \cdot e^{C} \cdot y = \int 8x^{3} \cdot |x|^{4} \cdot e^{C} dx$ Setelah menghitung integral ini, kita akan mendapatkan solusi umum dari persamaan diferensial: $|x|^{4} \cdot e^{C} \cdot y = \frac{2}{5} x^{8} \cdot |x|^{4} \cdot e^{C} + D$ Dalam kasus ini, kita memiliki kondisi awal $y(1) = 2$. Untuk menentukan nilai konstanta $D$, kita akan menggunakan kondisi awal ini: $|1|^{4} \cdot e^{C} \cdot 2 = \frac{2}{5} \cdot 1^{8} \cdot |1|^{4} \cdot e^{C} + D$ $2 = \frac{2}{5} \cdot 1 \cdot 1 + D$ $2 = \frac{2}{5} + D$ $D = \frac{8}{5}$ Sehingga, solusi persamaan diferensial orde pertama ini dengan kondisi awal $y(1) = 2$ adalah: $|x|^{4} \cdot e^{C} \cdot y = \frac{2}{5} x^{8} \cdot |x|^{4} \cdot e^{C} + \frac{8}{5}$ Untuk memperoleh solusi akhir, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan $|x|^{4} \cdot e^{C}$: $y = \frac{2}{5} x^{8} + \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{|x|^{4} \cdot e^{C}}$ Dengan demikian, solusi persamaan diferensial orde pertama $xy'+4y=8x^{4}$ dengan kondisi awal $y(1)=2$ adalah $y = \frac{2}{5} x^{8} + \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{|x|^{4} \cdot e^{C}}$.