Maksimalkan Nilai Relatif Grafik dengan Menggunakan Metode Kalkulus

Dalam matematika, kita seringkali dihadapkan dengan tugas untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Salah satu metode yang digunakan untuk mencapai tujuan ini adalah dengan menggunakan kalkulus. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menggunakan metode kalkulus untuk mencari nilai maksimum relatif dari suatu grafik. Pertanyaan yang diberikan adalah $\frac {1}{4}x^{4}-2x^{3}+4x^{2}=\ldots $. Kita diminta untuk mencari nilai maksimum relatif dari grafik ini. Untuk mencapai tujuan ini, kita akan menggunakan turunan fungsi. Langkah pertama adalah mengambil turunan dari fungsi tersebut. Dalam hal ini, kita akan menggunakan aturan turunan untuk setiap suku dalam fungsi. Turunan dari $\frac {1}{4}x^{4}$ adalah $x^{3}$, turunan dari $-2x^{3}$ adalah $-6x^{2}$, dan turunan dari $4x^{2}$ adalah $8x$. Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah $x^{3}-6x^{2}+8x$. Langkah selanjutnya adalah mencari titik-titik kritis dari fungsi ini. Titik-titik kritis adalah titik-titik di mana turunan fungsi sama dengan nol. Dalam hal ini, kita akan mencari solusi dari persamaan $x^{3}-6x^{2}+8x=0$. Untuk mencari solusi dari persamaan ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi. Dalam hal ini, kita dapat membagi persamaan ini dengan $x$, sehingga kita mendapatkan $x(x^{2}-6x+8)=0$. Dari sini, kita dapat melihat bahwa solusi dari persamaan ini adalah $x=0$ atau $x^{2}-6x+8=0$. Untuk mencari solusi dari persamaan kuadrat $x^{2}-6x+8=0$, kita dapat menggunakan metode faktorisasi atau menggunakan rumus kuadrat. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus kuadrat, yaitu $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$. Dalam persamaan ini, $a=1$, $b=-6$, dan $c=8$. Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat, kita dapat mencari solusi dari persamaan ini. Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan solusi $x=2$ atau $x=4$. Jadi, titik-titik kritis dari fungsi ini adalah $x=0$, $x=2$, dan $x=4$. Selanjutnya, kita perlu memeriksa apakah titik-titik ini adalah maksimum relatif atau minimum relatif. Untuk melakukan ini, kita dapat menggunakan metode uji kedua turunan. Dalam hal ini, kita akan mengambil turunan kedua dari fungsi ini. Turunan kedua dari $x^{3}-6x^{2}+8x$ adalah $3x^{2}-12x+8$. Kita akan menggantikan nilai-nilai titik-titik kritis ke dalam turunan kedua ini. Setelah melakukan perhitungan, kita mendapatkan nilai turunan kedua pada titik $x=0$ adalah $8$, pada titik $x=2$ adalah $4$, dan pada titik $x=4$ adalah $8$. Dari sini, kita dapat melihat bahwa turunan kedua pada titik $x=0$ dan $x=4$ adalah positif, sedangkan turunan kedua pada titik $x=2$ adalah negatif. Berdasarkan metode uji kedua turunan, jika turunan kedua pada suatu titik adalah positif, maka titik tersebut adalah minimum relatif. Jika turunan kedua pada suatu titik adalah negatif, maka titik tersebut adalah maksimum relatif. Dalam hal ini, titik $x=0$ dan $x=4$ adalah maksimum relatif, sedangkan titik $x=2$ adalah minimum relatif. Jadi, nilai maksimum relatif dari grafik ini adalah $x=4$. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D. 4. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menggunakan metode kalkulus untuk mencari nilai maksimum relatif dari suatu grafik. Metode ini sangat berguna dalam berbagai bidang, seperti ekonomi, fisika, dan ilmu komputer. Dengan menggunakan metode ini, kita dapat dengan mudah mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi.