Buktikan bahwa \( m^{2}=n^{2} \) jika dan hanya jika \( m=n \) atau \( m=-n \)

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada tugas untuk membuktikan suatu pernyataan. Salah satu pernyataan yang sering muncul adalah \( m^{2}=n^{2} \), di mana \( m \) dan \( n \) adalah bilangan riil. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa pernyataan ini hanya benar jika \( m=n \) atau \( m=-n \). Pertama, mari kita buktikan bahwa jika \( m=n \) atau \( m=-n \), maka \( m^{2}=n^{2} \). Jika \( m=n \), maka \( m^{2}=n^{2} \) menjadi \( n^{2}=n^{2} \), yang jelas benar. Jika \( m=-n \), maka \( m^{2}=n^{2} \) menjadi \( (-n)^{2}=n^{2} \), yang juga benar. Selanjutnya, mari kita buktikan bahwa jika \( m^{2}=n^{2} \), maka \( m=n \) atau \( m=-n \). Untuk membuktikan ini, kita akan menggunakan hukum eksponen dalam aljabar. Jika \( m^{2}=n^{2} \), maka kita dapat mengakar kedua sisi persamaan tersebut. Akar kuadrat dari \( m^{2} \) adalah \( m \), dan akar kuadrat dari \( n^{2} \) adalah \( n \). Oleh karena itu, jika \( m^{2}=n^{2} \), maka \( m=n \). Namun, kita juga perlu mempertimbangkan kasus ketika \( m \) dan \( n \) negatif. Jika \( m=-n \), maka \( m^{2}=(-n)^{2} \) menjadi \( m^{2}=n^{2} \), yang juga benar. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa \( m^{2}=n^{2} \) jika dan hanya jika \( m=n \) atau \( m=-n \).