Pemetaan Fungsi dalam Matematika: Menemukan Nilai \( f(x) \) dari \( (g \circ f)(x) \)

Dalam matematika, pemetaan fungsi adalah konsep penting yang melibatkan hubungan antara dua fungsi. Dalam kasus ini, kita diberikan dua fungsi, \( f: R \rightarrow R \) dan \( g: R \rightarrow R \), dan kita diminta untuk menemukan nilai \( f(x) \) berdasarkan hubungan \( (g \circ f)(x) = 2x^2 + 4x + 5 \) dan \( g(x) = 2x + 3 \). Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu memahami konsep pemetaan fungsi dan menerapkannya pada persamaan yang diberikan. Pemetaan fungsi adalah proses menghubungkan elemen-elemen dalam domain fungsi pertama dengan elemen-elemen dalam domain fungsi kedua. Dalam hal ini, kita ingin menemukan nilai \( f(x) \) berdasarkan hubungan antara \( f(x) \) dan \( g(x) \). Langkah pertama adalah mengganti \( f(x) \) dengan \( y \) dalam persamaan \( (g \circ f)(x) = 2x^2 + 4x + 5 \). Dengan melakukan ini, kita mendapatkan persamaan baru \( (g \circ y)(x) = 2x^2 + 4x + 5 \). Selanjutnya, kita substitusikan \( y \) dengan \( f(x) \) dalam persamaan \( g(x) = 2x + 3 \), sehingga kita mendapatkan \( g(f(x)) = 2x + 3 \). Sekarang, kita memiliki dua persamaan yang terkait: \( (g \circ y)(x) = 2x^2 + 4x + 5 \) dan \( g(f(x)) = 2x + 3 \). Kita dapat menggunakan persamaan kedua untuk menyelesaikan persamaan pertama. Dalam persamaan kedua, kita tahu bahwa \( g(f(x)) = 2x + 3 \), jadi kita dapat menggantikan \( (g \circ y)(x) \) dalam persamaan pertama dengan \( 2x + 3 \). Dengan melakukan ini, kita mendapatkan \( 2x + 3 = 2x^2 + 4x + 5 \). Sekarang, kita memiliki persamaan kuadratik yang dapat diselesaikan untuk menemukan nilai \( x \). Dengan mengurutkan persamaan menjadi bentuk standar \( 2x^2 + 2x - 2 = 0 \), kita dapat menggunakan rumus kuadratik untuk menyelesaikannya. Setelah menyelesaikan persamaan, kita akan mendapatkan dua nilai \( x \), yang akan kita substitusikan kembali ke persamaan \( g(f(x)) = 2x + 3 \) untuk menemukan nilai \( f(x) \). Setelah melakukan semua perhitungan, kita akan mendapatkan jawaban yang benar. Dalam hal ini, jawaban yang benar adalah (D) \( 2x^2 + 4x + 2 \).