Solusi Persamaan Diferensial Orde Pertam

Persamaan diferensial orde pertama adalah jenis persamaan diferensial yang melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi. Dalam kasus ini, kita diberikan persamaan diferensial \( y^{\prime}+x^{2} y=0 \) dengan kondisi awal \( y(1)=1 \). Tujuan kita adalah untuk menemukan solusi dari persamaan diferensial ini.

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, kita dapat menggunakan metode pemisahan variabel. Pertama, kita memisahkan variabel dengan memindahkan semua suku yang mengandung \( y \) ke satu sisi persamaan dan semua suku yang mengandung \( x \) ke sisi lainnya. Dalam hal ini, kita mendapatkan \( \frac{{dy}}{{dx}}=-x^{2} y \).

Selanjutnya, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \( y \) dan \( dx \) untuk mendapatkan \( \frac{{dy}}{{y}}=-x^{2} dx \). Kemudian, kita dapat mengintegrasikan kedua sisi persamaan ini. Integrasi dari \( \frac{{dy}}{{y}} \) adalah \( \ln|y| \) dan integrasi dari \( -x^{2} \) adalah \( -\frac{{x^{3}}}{{3}} \). Sehingga, kita mendapatkan \( \ln|y|=-\frac{{x^{3}}}{{3}}+C \), di mana \( C \) adalah konstanta integrasi.

Selanjutnya, kita dapat mengekspresikan \( y \) dalam bentuk eksponensial dengan mengambil eksponen dari kedua sisi persamaan. Dalam hal ini, kita mendapatkan \( |y|=e^{-\frac{{x^{3}}}{{3}}+C} \). Karena \( e^{C} \) adalah konstanta positif, kita dapat menggantikan \( |y| \) dengan \( y \) sehingga kita mendapatkan \( y=e^{-\frac{{x^{3}}}{{3}}+C} \).

Untuk menentukan nilai konstanta \( C \), kita menggunakan kondisi awal \( y(1)=1 \). Dalam hal ini, kita dapat menggantikan \( x \) dengan \( 1 \) dan \( y \) dengan \( 1 \) dalam persamaan solusi kita. Sehingga, kita mendapatkan \( 1=e^{-\frac{{1^{3}}}{{3}}+C} \). Dengan mengambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan ini, kita dapat menentukan nilai \( C \). Setelah menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggantikan nilai \( C \) dalam solusi kita.

Dengan demikian, solusi dari persamaan diferensial \( y^{\prime}+x^{2} y=0 \) dengan kondisi awal \( y(1)=1 \) adalah \( y=e^{-\frac{{x^{3}}}{{3}}+C} \), di mana \( C \) adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi awal.