Bentuk Rasional dari \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \)

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada ekspresi yang kompleks dan sulit untuk disederhanakan. Salah satu contohnya adalah ekspresi \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \). Dalam artikel ini, kita akan mencoba mencari bentuk rasional dari ekspresi ini. Pertama-tama, mari kita perhatikan ekspresi tersebut dengan lebih cermat. Ekspresi ini terdiri dari dua akar kuadrat, yaitu akar kuadrat dari 5 dan akar kuadrat dari 2 ditambah akar kuadrat dari 3. Untuk mencari bentuk rasional dari ekspresi ini, kita perlu menghilangkan akar kuadrat di penyebut. Salah satu cara untuk menghilangkan akar kuadrat di penyebut adalah dengan menggunakan konjugat. Konjugat dari \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) adalah \( \sqrt{2}-\sqrt{3} \). Kita dapat mengalikan ekspresi tersebut dengan konjugatnya, baik di pembilang maupun penyebut, tanpa mengubah nilai ekspresi tersebut. Jadi, kita dapat menulis ulang ekspresi \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \) sebagai berikut: \[ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \] Sekarang, mari kita sederhanakan ekspresi ini. Dalam pembilang, kita dapat menggunakan sifat distributif untuk mengalikan akar kuadrat dengan akar kuadrat. Dalam penyebut, kita dapat menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menghilangkan akar kuadrat. \[ \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} \] Sekarang, mari kita sederhanakan ekspresi ini lebih lanjut. Dalam pembilang, kita dapat mengalikan akar kuadrat dengan akar kuadrat dan menggunakan sifat distributif. \[ \frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{2-3} \] \[ \frac{\sqrt{10}-\sqrt{15}}{-1} \] \[ -(\sqrt{10}-\sqrt{15}) \] Jadi, bentuk rasional dari ekspresi \( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \) adalah \( -(\sqrt{10}-\sqrt{15}) \). Dalam artikel ini, kita telah berhasil menemukan bentuk rasional dari ekspresi yang kompleks. Dengan menggunakan konjugat dan sifat-sifat matematika yang tepat, kita dapat menyederhanakan ekspresi yang sulit menjadi bentuk yang lebih sederhana dan lebih mudah dipahami.