Analisis Lintasan Bola yang Dijatuhkan dan Memantul

Dalam artikel ini, kita akan menganalisis lintasan bola yang dijatuhkan dari ketinggian 12 meter dan memantul kembali dengan ketinggian $2/3$ dari pantulan sebelumnya. Kita akan mencari tahu berapa panjang lintasan bola tersebut sampai bola berhenti. Pertama-tama, mari kita lihat apa yang terjadi ketika bola pertama kali dijatuhkan dari ketinggian 12 meter. Ketika bola jatuh, energi potensialnya berubah menjadi energi kinetik. Bola akan terus bergerak ke bawah dengan kecepatan yang semakin meningkat karena gaya gravitasi. Ketika bola mencapai permukaan tanah, bola akan memantul kembali. Ketinggian pantulan bola adalah $2/3$ dari ketinggian pantulan sebelumnya. Ini berarti setiap kali bola memantul, ketinggian pantulan akan semakin berkurang. Untuk menghitung panjang lintasan bola sampai bola berhenti, kita perlu memperhatikan bahwa setiap kali bola memantul, panjang lintasan bola akan berkurang. Kita dapat menggunakan deret geometri untuk menghitung panjang lintasan bola secara keseluruhan. Misalkan panjang lintasan bola saat pertama kali dijatuhkan adalah $L$. Setelah bola memantul pertama kali, panjang lintasan bola menjadi $L \times \frac{2}{3}$. Setelah bola memantul kedua kali, panjang lintasan bola menjadi $L \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}$. Dan seterusnya. Dalam deret geometri ini, rasio antara suku-suku berturut-turut adalah $\frac{2}{3}$. Jika kita menghitung jumlah tak terhingga dari deret ini, kita dapat menggunakan rumus: $S = \frac{a}{1 - r}$ Di mana $S$ adalah jumlah tak terhingga dari deret, $a$ adalah suku pertama, dan $r$ adalah rasio antara suku-suku berturut-turut. Dalam kasus ini, suku pertama adalah $L$ dan rasio antara suku-suku berturut-turut adalah $\frac{2}{3}$. Jadi, panjang lintasan bola sampai bola berhenti adalah: $S = \frac{L}{1 - \frac{2}{3}}$ Sekarang kita perlu mencari nilai $L$. Kita dapat menggunakan hukum kekekalan energi untuk mencari nilai ini. Ketika bola pertama kali dijatuhkan, energi potensialnya adalah $mgh$, di mana $m$ adalah massa bola, $g$ adalah percepatan gravitasi, dan $h$ adalah ketinggian bola. Ketika bola berhenti, energi kinetiknya adalah nol. Jadi, kita dapat menulis persamaan: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ Di mana $v$ adalah kecepatan bola saat bola berhenti. Kita dapat membatalkan massa bola dari kedua sisi persamaan dan mendapatkan: $gh = \frac{1}{2}v^2$ Kita juga tahu bahwa kecepatan bola saat bola berhenti adalah kecepatan bola saat bola pertama kali dijatuhkan. Jadi, kita dapat menulis persamaan: $gh = \frac{1}{2}gt^2$ Di mana $t$ adalah waktu yang dibutuhkan bola untuk jatuh dari ketinggian $h$. Kita dapat membatalkan percepatan gravitasi dari kedua sisi persamaan dan mendapatkan: $h = \frac{1}{2}gt^2$ Kita juga tahu bahwa waktu yang dibutuhkan bola untuk jatuh dari ketinggian $h$ adalah waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai kecepatan maksimum. Jadi, kita dapat menulis persamaan: $h = \frac{1}{2}g(\frac{2h}{g})^2$ Kita dapat membatalkan $g$ dari kedua sisi persamaan dan mendapatkan: $1 = \frac{1}{2}(\frac{2h}{g})^2$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi: