Transformasi Matriks dan Rotasi Pusat dalam Persamaan Garis

Dalam matematika, transformasi matriks dan rotasi pusat adalah dua konsep penting yang digunakan untuk mempelajari perubahan bentuk dan posisi objek dalam bidang. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi bagaimana persamaan garis dapat mengalami transformasi dan rotasi menggunakan matriks yang diberikan. Pertama, mari kita lihat persamaan garis \( y = 3x + 2 \). Untuk mentransformasikan garis ini menggunakan matriks \( \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right) \), kita perlu mengalikan setiap titik pada garis dengan matriks tersebut. Misalnya, jika kita memiliki titik (x, y) pada garis asli, titik tersebut akan berubah menjadi (x', y') setelah transformasi. Untuk menghitung titik baru, kita dapat menggunakan rumus berikut: \[ \left(\begin{array}{ll}x' \\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{ll}x \\ y\end{array}\right) \] Dengan mengalikan matriks, kita dapat menemukan persamaan baru untuk garis yang telah ditransformasikan. Misalnya, jika kita mengalikan matriks dengan titik (1, 5) pada garis asli, kita akan mendapatkan titik baru (7, 5) pada garis yang telah ditransformasikan. Selanjutnya, kita akan melanjutkan dengan rotasi pusat garis yang telah ditransformasikan sebesar \( 90^{\circ} \) terhadap titik pusat O(0,0). Rotasi pusat adalah rotasi objek terhadap titik tertentu. Dalam hal ini, kita akan merotasi garis yang telah ditransformasikan sebesar \( 90^{\circ} \) terhadap titik O(0,0). Untuk melakukan rotasi pusat, kita perlu menggunakan rumus rotasi matriks. Misalnya, jika kita memiliki titik (x', y') pada garis yang telah ditransformasikan, titik tersebut akan berubah menjadi (x'', y'') setelah rotasi. Rumus rotasi matriks untuk rotasi sebesar \( 90^{\circ} \) terhadap titik O(0,0) adalah: \[ \left(\begin{array}{ll}x'' \\ y''\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{ll}x' \\ y'\end{array}\right) \] Dengan mengalikan matriks rotasi dengan titik (7, 5) pada garis yang telah ditransformasikan, kita akan mendapatkan titik baru (-5, 7) setelah rotasi. Dengan demikian, persamaan garis yang telah mengalami transformasi matriks dan rotasi pusat adalah \( y = -5x + 7 \). Garis ini merupakan hasil dari transformasi dan rotasi yang telah kita lakukan menggunakan matriks yang diberikan. Dalam artikel ini, kita telah menjelajahi bagaimana persamaan garis dapat mengalami transformasi dan rotasi menggunakan matriks. Transformasi matriks memungkinkan kita untuk mengubah bentuk dan posisi objek dalam bidang, sementara rotasi pusat memungkinkan kita untuk merotasi objek terhadap titik tertentu. Dengan memahami konsep ini, kita dapat lebih memahami perubahan yang terjadi pada objek dalam matematika.