Analisis Fungsi Rasional \( F(x)=\frac{x}{x^{2}-1} \)

Fungsi rasional adalah jenis fungsi matematika yang terdiri dari pecahan polinomial. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis fungsi rasional \( F(x)=\frac{x}{x^{2}-1} \) dan melihat beberapa sifat dan karakteristiknya. Pertama-tama, mari kita lihat domain fungsi ini. Karena ada pembagian dengan \( x^{2}-1 \), kita harus memastikan bahwa penyebut tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, kita harus menyelesaikan persamaan \( x^{2}-1=0 \). Dari sini, kita mendapatkan \( x=1 \) dan \( x=-1 \). Jadi, domain fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali 1 dan -1. Selanjutnya, mari kita lihat asimtot vertikal fungsi ini. Asimtot vertikal adalah garis vertikal yang tidak dapat dilalui oleh grafik fungsi. Dalam kasus ini, kita memiliki dua asimtot vertikal, yaitu \( x=1 \) dan \( x=-1 \). Ketika \( x \) mendekati 1 atau -1 dari kiri atau kanan, nilai fungsi mendekati tak terhingga positif atau negatif. Selain itu, kita juga dapat melihat bahwa fungsi ini memiliki asimtot horizontal. Asimtot horizontal adalah garis horizontal yang mendekati grafik fungsi saat \( x \) mendekati tak terhingga positif atau negatif. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan aturan pembagian tertinggi untuk melihat bahwa fungsi ini memiliki asimtot horizontal di \( y=0 \). Selanjutnya, mari kita lihat titik potong dengan sumbu \( x \) dan sumbu \( y \). Untuk mencari titik potong dengan sumbu \( x \), kita harus menyelesaikan persamaan \( \frac{x}{x^{2}-1}=0 \). Dari sini, kita mendapatkan \( x=0 \). Jadi, titik potong dengan sumbu \( x \) adalah (0, 0). Sementara itu, untuk mencari titik potong dengan sumbu \( y \), kita harus menyelesaikan persamaan \( \frac{0}{0^{2}-1} \). Namun, kita tidak dapat membagi dengan nol, jadi tidak ada titik potong dengan sumbu \( y \). Terakhir, mari kita lihat grafik fungsi ini. Dengan menggunakan informasi yang telah kita temukan sebelumnya, kita dapat menggambar grafik fungsi \( F(x)=\frac{x}{x^{2}-1} \). Grafik ini akan memiliki asimtot vertikal di \( x=1 \) dan \( x=-1 \), serta asimtot horizontal di \( y=0 \). Titik potong dengan sumbu \( x \) adalah (0, 0). Dalam kesimpulan, fungsi rasional \( F(x)=\frac{x}{x^{2}-1} \) memiliki domain semua bilangan real kecuali 1 dan -1. Fungsi ini memiliki asimtot vertikal di \( x=1 \) dan \( x=-1 \), serta asimtot horizontal di \( y=0 \). Titik potong dengan sumbu \( x \) adalah (0, 0). Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menggambar grafik fungsi ini dan memahami sifat dan karakteristiknya.