Membuktikan bahwa \( A A^{T} \) adalah matriks simetris

Dalam matematika, matriks simetris adalah matriks persegi yang elemen-elemennya simetris terhadap diagonal utama. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan bahwa hasil perkalian matriks \( A \) dengan transpose dari \( A \), yaitu \( A A^{T} \), adalah matriks simetris. Pertama-tama, mari kita tinjau matriks \( A \) yang diberikan: \[ A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \] Kita akan mengalikan \( A \) dengan transpose dari \( A \), yaitu \( A^{T} \). Transpose dari \( A \) dapat ditemukan dengan menukar elemen-elemen diagonal utama dan elemen-elemen di luar diagonal utama: \[ A^{T}=\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right) \] Sekarang, kita akan mengalikan \( A \) dengan \( A^{T} \): \[ A A^{T}=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right) \] Mengalikan matriks ini akan menghasilkan: \[ A A^{T}=\left(\begin{array}{ll}a^{2}+b^{2} & ac+bd \\ ac+bd & c^{2}+d^{2}\end{array}\right) \] Sekarang, mari kita periksa apakah \( A A^{T} \) adalah matriks simetris. Untuk membuktikan ini, kita perlu memeriksa apakah elemen-elemen di atas diagonal utama sama dengan elemen-elemen di bawah diagonal utama. Elemen di atas diagonal utama adalah \( ac+bd \), sedangkan elemen di bawah diagonal utama adalah \( ac+bd \). Karena kedua elemen ini sama, maka \( A A^{T} \) adalah matriks simetris. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa hasil perkalian matriks \( A \) dengan transpose dari \( A \), yaitu \( A A^{T} \), adalah matriks simetris. Dalam matematika, bukti ini memiliki implikasi penting dalam berbagai bidang, seperti aljabar linear dan analisis matriks. Matriks simetris memiliki sifat-sifat khusus yang memungkinkan kita untuk melakukan manipulasi dan perhitungan yang lebih mudah. Dalam kesimpulan, kita telah membuktikan bahwa hasil perkalian matriks \( A \) dengan transpose dari \( A \), yaitu \( A A^{T} \), adalah matriks simetris. Bukti ini memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang sifat-sifat matriks simetris dan implikasinya dalam matematika. Referensi: - Lay, David C. (2012). Linear Algebra and Its Applications. Pearson.