Solusi Persamaan Diferensial Orde Dua dengan \( \frac{1}{11-x^{2}} \)

Persamaan diferensial orde dua yang diberikan adalah \(\frac{d^{2}y(x)}{dx^{2}} + \frac{11-x^{2}}{(11-x^{2})}y(x) = 0\). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menggunakan metode substitusi. Misalkan \(v = x^{2}\), maka \(dv = 2x dx\). Dengan menggantikan \(v\) dan \(dv\) ke dalam persamaan, kita dapat mengubah persamaan menjadi bentuk yang lebih sederhana. \(\frac{d^{2}y(v)}{dv^{2}} + \frac{11-v}{(11-v)}y(v) = 0\). Persamaan ini merupakan persamaan diferensial orde dua dengan koefisien konstan. Untuk menyelesaikannya, kita dapat menggunakan metode karakteristik. Misalkan kita mencari solusi dalam bentuk \(y(v) = e^{rx}\), maka kita dapat menggantikan \(y(v)\) dan \(y'(v)\) ke dalam persamaan. \(r^{2}e^{rv} + \frac{11-v}{(11-v)}e^{rv} = 0\). Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan \(e^{rv}\), kita dapat menghilangkan faktor eksponensial. \(r^{2} + \frac{11-v}{(11-v)} = 0\). Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan ini. \(r^{2} + 1 = 0\). Dari sini, kita dapat mencari akar-akar persamaan karakteristik. \(r_{1} = i\) dan \(r_{2} = -i\). Jadi, solusi umum persamaan diferensial orde dua ini adalah \(y(v) = c_{1}e^{ix} + c_{2}e^{-ix}\), di mana \(c_{1}\) dan \(c_{2}\) adalah konstanta. Kembali ke variabel asli \(x\), kita dapat menulis solusi umum persamaan diferensial orde dua ini sebagai \(y(x) = c_{1}e^{ix} + c_{2}e^{-ix}\), di mana \(c_{1}\) dan \(c_{2}\) adalah konstanta. Dalam konteks persamaan diferensial ini, solusi ini menggambarkan osilasi sinusoidal yang terjadi di sekitar \(x = 0\).