Mencari Nilai Sinus Sudut P pada Segitiga Siku-Siku

Dalam matematika, segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki satu sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90 derajat. Dalam segitiga siku-siku PQR, sudut P adalah sudut yang terletak di antara sisi PQ dan sisi QR. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai sinus sudut P jika diketahui bahwa tangen sudut P adalah 3/2. Untuk mencari nilai sinus sudut P, kita perlu menggunakan hubungan trigonometri dasar. Salah satu hubungan tersebut adalah hubungan antara tangen dan sinus sudut dalam segitiga siku-siku. Hubungan tersebut dinyatakan dalam persamaan: \(\tan P = \frac{{\text{{sisi tegak}}}}{{\text{{sisi mendatar}}}} = \frac{{\text{{tinggi segitiga}}}}{{\text{{panjang alas segitiga}}}}\) Dalam segitiga PQR, sisi tegak adalah sisi QR dan sisi mendatar adalah sisi PQ. Jadi, kita dapat menulis persamaan: \(\tan P = \frac{{QR}}{{PQ}} = \frac{3}{2}\) Untuk mencari nilai sinus sudut P, kita perlu menggunakan hubungan trigonometri lainnya. Hubungan tersebut adalah hubungan antara sinus dan tangen sudut dalam segitiga siku-siku. Hubungan tersebut dinyatakan dalam persamaan: \(\sin P = \frac{{\text{{sisi tegak}}}}{{\text{{sisi miring}}}} = \frac{{\text{{tinggi segitiga}}}}{{\text{{panjang sisi miring segitiga}}}}\) Dalam segitiga PQR, sisi tegak adalah sisi QR dan sisi miring adalah sisi PR. Jadi, kita dapat menulis persamaan: \(\sin P = \frac{{QR}}{{PR}}\) Untuk mencari nilai sinus sudut P, kita perlu mengetahui panjang sisi QR dan sisi PR. Namun, kita hanya diberikan informasi bahwa tangen sudut P adalah 3/2. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan hubungan trigonometri lainnya untuk mencari panjang sisi QR dan sisi PR. Salah satu hubungan trigonometri lainnya adalah hubungan antara tangen dan sinus sudut dalam segitiga siku-siku. Hubungan tersebut dinyatakan dalam persamaan: \(\tan P = \frac{{\text{{sisi tegak}}}}{{\text{{sisi mendatar}}}} = \frac{{\text{{tinggi segitiga}}}}{{\text{{panjang alas segitiga}}}}\) Dalam segitiga PQR, sisi tegak adalah sisi QR dan sisi mendatar adalah sisi PQ. Jadi, kita dapat menulis persamaan: \(\tan P = \frac{{QR}}{{PQ}}\) Kita sudah mengetahui bahwa \(\tan P = \frac{3}{2}\), jadi kita dapat menulis persamaan: \(\frac{3}{2} = \frac{{QR}}{{PQ}}\) Dari persamaan ini, kita dapat mencari panjang sisi QR dalam bentuk PQ: \(QR = \frac{3}{2} \times PQ\) Selanjutnya, kita perlu menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang sisi PR. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi tegak dan panjang sisi mendatar. Dalam segitiga PQR, kita dapat menulis persamaan: \(PR^2 = PQ^2 + QR^2\) Substitusikan nilai QR yang telah kita temukan sebelumnya: \(PR^2 = PQ^2 + \left(\frac{3}{2} \times PQ\right)^2\) Sekarang kita dapat mencari nilai PR dengan menghitung akar kuadrat dari kedua sisi persamaan: \(PR = \sqrt{PQ^2 + \left(\frac{3}{2} \times PQ\right)^2}\) Setelah kita mengetahui panjang sisi QR dan sisi PR, kita dapat mencari nilai sinus sudut P dengan menggunakan hubungan trigonometri yang telah kita bahas sebelumnya: \(\sin P = \frac{{QR}}{{PR}} = \frac{{\frac{3}{2} \times PQ}}{{\sqrt{PQ^2 + \left(\frac{3}{2} \times PQ\right)^2}}}\) Sekarang kita perlu menyederhanakan persamaan ini. Kita dapat memulai dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan: \(\sin^2 P = \frac{{\left(\frac{3}{2} \times PQ\right)^2}}{{PQ^2 + \left(\frac{3}{2} \times PQ\right)^2}}\) Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan \(4^2\): \(4^2 \times \sin^2 P = \frac{{4^2 \times \left(\frac{3}{2} \times PQ\right)^2}}{{4^2 \times PQ^2 + 4^2 \times \left(\frac{3}{2} \times PQ\right)^2}}\) Setelah disederhanakan, persamaan ini menjadi: \(16 \times \sin^2 P = \frac{{9 \times PQ^2}}{{PQ^2 + 9 \times PQ^2}}\) Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menggabungkan suku-suku yang serupa: \(16 \times \sin^2 P = \frac{{9 \times PQ^2}}{{10 \times PQ^2}}\) Selanjutnya, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan \(16\) untuk mendapatkan nilai sinus sudut P: \(\sin^2 P = \frac{{9 \times PQ^2}}{{10 \times PQ^2 \times 16}}\) \(\sin^2 P = \frac{{9}}{{160}}\) Akhirnya, kita dapat menghitung akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan nilai sinus sudut P: \(\sin P = \sqrt{\frac{{9}}{{160}}}\) Setelah menghitung, kita dapat menyederhanakan nilai sinus sudut P: \(\sin P = \frac{{3}}{{\sqrt{160}}}\) Namun, kita perlu menyederhanakan akar kuadrat dari 160. Kita dapat membagi 160 dengan faktor prima terkecilnya, yaitu 2: \(\sqrt{160} = \sqrt{2^5 \times 5} = 2^2 \times \sqrt{10} = 4\sqrt{10}\) Jadi, nilai sinus sudut P adalah: \(\sin P = \frac{{3}}{{4\sqrt{10}}}\) Namun, kita perlu menyederhanakan nilai ini dengan membagi kedua sisi persamaan dengan 3: \(\sin P = \frac{{1}}{{4\sqrt{10}}}\) Jadi, jawaban yang benar adalah A. \(\frac{{1}}{{13}} \sqrt{13}\). Dalam artikel ini, kita telah mencari nilai sinus sudut P pada segitiga siku-siku PQR berdasarkan informasi bahwa tangen sudut P adalah 3/2. Dengan menggunakan hubungan trigonometri dasar dan teorema Pythagoras, kita dapat menemukan nilai sinus sudut P yang benar.