Membuktikan Limit Tak Hingga dengan Cermat dan Teliti ##

Dalam matematika, limit tak hingga merupakan konsep penting yang menggambarkan perilaku suatu fungsi saat variabel bebas mendekati nilai tak hingga. Untuk membuktikan limit tak hingga, kita perlu menunjukkan bahwa fungsi tersebut mendekati nilai tertentu saat variabel bebas semakin besar. Dalam kasus ini, kita ingin membuktikan bahwa: $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2 + x} + \sqrt{9x^2 - x - 5x} = \frac{1}{12}$$ Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan beberapa langkah: 1. Faktorkan keluar faktor dominan: - Pada akar pertama, faktor dominan adalah $x^2$. Kita dapat menulisnya sebagai: $$\sqrt{4x^2 + x} = \sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x})}$$ - Pada akar kedua, faktor dominan juga $x^2$. Kita dapat menulisnya sebagai: $$\sqrt{9x^2 - x - 5x} = \sqrt{x^2(9 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x})}$$ 2. Keluarkan faktor $x$ dari akar: - Kita dapat mengeluarkan faktor $x$ dari akar pertama dan kedua: $$\sqrt{x^2(4 + \frac{1}{x})} = x\sqrt{4 + \frac{1}{x}}$$ $$\sqrt{x^2(9 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x})} = x\sqrt{9 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x}}$$ 3. Sederhanakan ekspresi: - Sekarang kita dapat menyederhanakan ekspresi limit: $$\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2 + x} + \sqrt{9x^2 - x - 5x} = \lim_{x \to \infty} x\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + x\sqrt{9 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x}}$$ $$= \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + \sqrt{9 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x}})$$ 4. Evaluasi limit: - Saat $x$ mendekati tak hingga, $\frac{1}{x}$ mendekati nol. Oleh karena itu, kita dapat menulis: $$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{4 + \frac{1}{x}} + \sqrt{9 - \frac{1}{x} - \frac{5}{x}}) = \lim_{x \to \infty} x(\sqrt{4} + \sqrt{9})$$ $$= \lim_{x \to \infty} x(2 + 3) = \lim_{x \to \infty} 5x$$ 5. Kesimpulan: - Karena $\lim_{x \to \infty} 5x = \infty$, maka limit awal tidak ada. Kesimpulan: Dari langkah-langkah di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa limit tak hingga dari ekspresi $\sqrt{4x^2 + x} + \sqrt{9x^2 - x - 5x}$ saat $x$ mendekati tak hingga tidak ada, bukan $\frac{1}{12}$. Penting untuk dicatat: Kesalahan dalam perhitungan atau interpretasi dapat menyebabkan hasil yang salah. Oleh karena itu, penting untuk melakukan langkah-langkah dengan cermat dan teliti untuk mendapatkan hasil yang akurat.