Menemukan Suku Keempat dalam Barisan Geometri

Dalam barisan geometri, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu rasio yang tetap. Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa suku kelima (U5) adalah 6 dan suku kesembilan (U9) adalah 24. Kita diminta untuk menemukan suku keempat (U4) dalam barisan tersebut.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan rumus umum untuk barisan geometri:

Un = U1 * r^(n-1)

Di mana Un adalah suku ke-n, U1 adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah nomor suku.

Dengan menggunakan informasi yang diberikan, kita dapat menulis dua persamaan:

U5 = U1 * r^(5-1)

U9 = U1 * r^(9-1)

Kita tahu bahwa U5 = 6 dan U9 = 24, jadi kita dapat menyelesaikan untuk U1 dan r:

U1 * r^4 = 6

U1 * r^8 = 24

Kita dapat membagi kedua persamaan dengan U1 untuk mendapatkan:

r^4 = 6/U1

r^8 = 24/U1

Karena rasio adalah sama dalam kedua persamaan, kita dapat menyederhanakan:

r^4 = r^8

Ini berarti bahwa rasio keempat suku sama dengan rasio kedelapan suku. Dengan kata lain, rasio adalah sama untuk semua suku dalam barisan tersebut.

Sekarang kita dapat menulis ulang persamaan pertama menggunakan rasio yang baru ditemukan:

U4 = U1 * r^(4-1)

Karena kita tidak tahu nilai U1, kita tidak dapat menyelesaikan untuk U4 secara eksplisit. Namun, kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut dengan membagi kedua sisi dengan U1:

U4/U1 = r^(3)

Karena rasio adalah sama untuk semua suku dalam barisan tersebut, kita dapat menyederhanakan lebih lanjut:

U4/U1 = r^3

Ini berarti bahwa suku keempat dalam barisan geometri adalah tiga kali rasio kuadrat dari suku pertama.

Dengan demikian, kita telah menemukan bahwa suku keempat dalam barisan geometri adalah tiga kali rasio kuadrat dari suku pertama.