Menyelesaikan Persamaan $(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)$

Dalam matematika, komposisi fungsi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu fungsi. Dalam kasus ini, kita diberikan dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$, dan kita diminta untuk menemukan nilai $a+b$ ketika $(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)$. Fungsi $f(x)$ diberikan sebagai $f(x) = ax + 2$, di mana $a$ adalah bilangan bulat tak negatif. Fungsi $g(x)$ juga diberikan sebagai $g(x) = -x + b$, di mana $b$ juga adalah bilangan bulat tak negatif. Untuk menyelesaikan persamaan, kita perlu mencari nilai $a+b$ yang memenuhi kondisi $(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)$. Ketika kita menggabungkan dua fungsi, kita mendapatkan: $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(ax + 2) = -ax + b$ $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(-x + b) = -x + ab + 2$ Kita tahu bahwa $(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)$, jadi kita dapat menyamakan kedua ekspresi: $-ax + b = -x + ab + 2$ Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengatur semua variabel di satu sisi dan konstanta di sisi lain: $a = b$ Kita tahu bahwa $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat tak negatif, jadi kita dapat menyimpulkan bahwa $a = b = 1$. Dengan mengganti nilai $a$ dan $b$ kembali ke persamaan awal, kita mendapatkan: $f(x) = ax + 2 = x + 2$ $g(x) = -x + b = -x + 1$ Sekarang kita dapat menemukan nilai $a+b$: $a+b = 1+1 = 2$ Oleh karena itu, nilai $a+b$ yang memenuhi kondisi $(g \circ f)(x) = (f \circ g)(x)$ adalah 2. Dengan demikian, kita telah menyelesaikan persamaan dan menemukan nilai $a+b$ yang memenuhi kondisi yang diberikan.