Menganalisis Batas Fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{2 x-\sqrt{3} \sqrt{x}-3} \)

Dalam matematika, batas fungsi adalah konsep yang penting dalam menganalisis perilaku fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Dalam artikel ini, kita akan menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{2 x-\sqrt{3} \sqrt{x}-3} \) dan melihat bagaimana kita dapat menentukan nilai batasnya. Pertama-tama, mari kita lihat fungsi yang diberikan. Fungsi ini memiliki bentuk pecahan dengan pembilang \( x-3 \) dan penyebut \( 2 x-\sqrt{3} \sqrt{x}-3 \). Ketika kita mencoba untuk menghitung nilai fungsi ini saat \( x \) mendekati 3, kita menghadapi masalah karena penyebutnya menjadi nol. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan teknik manipulasi aljabar untuk menentukan nilai batasnya. Salah satu teknik yang dapat kita gunakan adalah faktorisasi penyebut. Dalam kasus ini, kita dapat mengalikan dan membagi dengan konjugat dari penyebut, yaitu \( 2 x+\sqrt{3} \sqrt{x}+3 \). Dengan melakukan ini, kita mendapatkan bentuk baru untuk fungsi kita: \[ \frac{x-3}{2 x-\sqrt{3} \sqrt{x}-3} \cdot \frac{2 x+\sqrt{3} \sqrt{x}+3}{2 x+\sqrt{3} \sqrt{x}+3} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan fungsi ini dengan membagi pembilang dan penyebutnya: \[ \frac{(x-3)(2 x+\sqrt{3} \sqrt{x}+3)}{(2 x-\sqrt{3} \sqrt{x}-3)(2 x+\sqrt{3} \sqrt{x}+3)} \] Setelah menyederhanakan fungsi, kita dapat mencoba menghitung nilai batasnya saat \( x \) mendekati 3. Dalam hal ini, kita dapat menggantikan \( x \) dengan 3 dalam fungsi kita: \[ \frac{(3-3)(2 \cdot 3+\sqrt{3} \sqrt{3}+3)}{(2 \cdot 3-\sqrt{3} \sqrt{3}-3)(2 \cdot 3+\sqrt{3} \sqrt{3}+3)} \] Setelah melakukan perhitungan, kita dapat melihat bahwa pembilang dan penyebutnya menjadi nol. Oleh karena itu, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital untuk menentukan nilai batasnya. Dengan menggunakan aturan ini, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut fungsi kita dan menghitung nilai batasnya: \[ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{1}{2+\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{x}}} \] Setelah mengambil turunan dan menghitung nilai batasnya, kita dapat melihat bahwa nilai batasnya adalah \( \frac{1}{2} \). Dalam kesimpulan, kita telah menganalisis batas fungsi \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{2 x-\sqrt{3} \sqrt{x}-3} \) dan menentukan bahwa nilai batasnya adalah \( \frac{1}{2} \). Dalam proses analisis ini, kita menggunakan teknik manipulasi aljabar dan aturan L'Hopital untuk menentukan nilai batasnya.