Persamaan Lingkaran Konsentris dan Melalui Titik

Dalam matematika, persamaan lingkaran adalah salah satu topik yang sering dibahas. Lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama dari pusatnya. Persamaan lingkaran dapat ditentukan berdasarkan pusat dan jari-jarinya. Namun, dalam kasus ini, kita akan membahas persamaan lingkaran yang konsentris dengan lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0$ dan melalui titik $(-1,5)$.

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang konsentris dengan lingkaran tersebut, kita perlu memahami konsep konsentris. Lingkaran konsentris adalah lingkaran yang memiliki pusat yang sama dengan lingkaran lainnya. Dalam hal ini, lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0$ adalah lingkaran utama dengan pusatnya di $(-3,1)$.

Kita juga diberikan informasi bahwa lingkaran konsentris ini melalui titik $(-1,5)$. Dengan menggunakan formula jarak antara dua titik, kita dapat menentukan jarak antara pusat lingkaran utama dan titik ini. Jaraknya adalah $\sqrt{(-3-(-1))^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Dalam persamaan lingkaran umum $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, $a$ dan $b$ adalah koordinat pusat lingkaran, dan $r$ adalah jari-jari lingkaran. Dalam kasus ini, pusat lingkaran utama adalah $(-3,1)$ dan jari-jarinya adalah $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menentukan persamaan lingkaran konsentris yang melalui titik $(-1,5)$. Karena pusat lingkaran utama adalah $(-3,1)$, kita dapat menggeser pusat lingkaran utama sejauh $2$ satuan ke kanan dan $4$ satuan ke atas untuk mendapatkan pusat lingkaran konsentris. Oleh karena itu, persamaan lingkaran konsentris yang melalui titik $(-1,5)$ adalah $(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=20$.

Dalam kesimpulan, persamaan lingkaran konsentris dengan lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x-2y-15=0$ dan melalui titik $(-1,5)$ adalah $(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=20$.