Bukti Kombinasi dan Permutasi

Kombinasi dan permutasi adalah konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk menghitung berbagai kemungkinan. Dalam artikel ini, kita akan membahas bukti-bukti terkait dengan kombinasi dan permutasi. Pertama, mari kita lihat bukti untuk rumus kombinasi jika n minus r sama dengan 1. Rumus kombinasi umumnya dinyatakan sebagai ${}_{n}C_{r}=\frac {n!}{(n-r)!r!}$. Jika n minus r sama dengan 1, yaitu n = 1 + r, maka rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi ${}_{n}C_{r}=n$. Untuk membuktikan ini, kita dapat menggantikan n dengan 1 + r dalam rumus kombinasi dan menyederhanakannya. Hasilnya adalah r + 1 = r, yang membuktikan rumus tersebut. Selanjutnya, mari kita lihat bukti untuk rumus kombinasi jika r sama dengan 1. Jika r = 1, rumus kombinasi menjadi ${}_{n}C_{r}=\frac {n!}{(n-r)!r!}=n$. Untuk membuktikan ini, kita dapat menggantikan r dengan 1 dalam rumus kombinasi dan menyederhanakannya. Hasilnya adalah ${}_{n}C_{r}=\frac {n!}{(n-1)!1!}=\frac {n\times (n-1)!}{(n-1)!(1)!}=n$, yang membuktikan rumus tersebut. Selanjutnya, mari kita lihat bukti untuk rumus kombinasi jika n sama dengan r. Jika n = r, rumus kombinasi menjadi ${}_{n}C_{r}=\frac {n!}{(n-r)!r!}=1$. Untuk membuktikan ini, kita dapat menggantikan n dengan r dalam rumus kombinasi dan menyederhanakannya. Hasilnya adalah ${}_{n}C_{r}=\frac {r!}{(r-r)!r!}=\frac {r!}{0!r!}=1$, yang membuktikan rumus tersebut. Terakhir, mari kita lihat hubungan antara kombinasi dan permutasi. Jika ${}_{n}P_{r}=\frac {n!}{(n-r)!}$ adalah rumus permutasi, maka rumus kombinasi dapat dinyatakan sebagai ${}_{n}C_{r}=\frac {n^{P}r!}{r!}$. Untuk membuktikan ini, kita dapat menggantikan rumus permutasi dalam rumus kombinasi dan menyederhanakannya. Hasilnya adalah ${}_{n}C_{r}=\frac {(n^{P}r!)r!}{(n-r)!r!}=\frac {n^{P}r!}{(n-r)!}$, yang membuktikan rumus tersebut. Dalam artikel ini, kita telah membahas bukti-bukti terkait dengan kombinasi dan permutasi. Kedua konsep ini sangat penting dalam matematika dan memiliki berbagai aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Dengan memahami bukti-bukti ini, kita dapat lebih memahami dasar-dasar kombinasi dan permutasi.