Bentuk rasional dari \( \frac{3}{2+\sqrt{5}} \)

Dalam matematika, bentuk rasional adalah bentuk pecahan di mana pembilang dan penyebutnya adalah bilangan bulat. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana mengubah bentuk pecahan \( \frac{3}{2+\sqrt{5}} \) menjadi bentuk rasional. Untuk mengubah pecahan ini menjadi bentuk rasional, kita perlu menghilangkan akar kuadrat di penyebut. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah dengan menggunakan konjugat dari penyebut. Konjugat dari \( 2+\sqrt{5} \) adalah \( 2-\sqrt{5} \). Untuk menghilangkan akar kuadrat di penyebut, kita dapat mengalikan pecahan dengan bentuk rasional dari konjugat tersebut, yaitu \( \frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} \). Dengan mengalikan pecahan awal dengan bentuk rasional dari konjugat, kita dapat menyederhanakan pecahan menjadi: \[ \frac{3}{2+\sqrt{5}} \times \frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{3(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \] Sekarang, kita dapat menyederhanakan penyebut dengan menggunakan rumus perbedaan kuadrat, yaitu \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). Dalam kasus ini, \( a = 2 \) dan \( b = \sqrt{5} \). \[ (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1 \] Jadi, pecahan \( \frac{3}{2+\sqrt{5}} \) dapat disederhanakan menjadi: \[ \frac{3(2-\sqrt{5})}{-1} = -3(2-\sqrt{5}) = -6+3\sqrt{5} \] Dengan demikian, bentuk rasional dari \( \frac{3}{2+\sqrt{5}} \) adalah \( -6+3\sqrt{5} \). Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana mengubah bentuk pecahan \( \frac{3}{2+\sqrt{5}} \) menjadi bentuk rasional. Dengan menggunakan konjugat dari penyebut dan rumus perbedaan kuadrat, kita dapat menyederhanakan pecahan menjadi \( -6+3\sqrt{5} \).