Mengapa Jawaban yang Benar untuk \( \frac{1}{a^{2} \theta}+\frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} \theta} \) adalah 1

Dalam matematika, sering kali kita dihadapkan pada pertanyaan tentang nilai-nilai tertentu dari ekspresi matematika yang kompleks. Salah satu pertanyaan yang sering muncul adalah tentang nilai dari ekspresi \( \frac{1}{a^{2} \theta}+\frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} \theta} \), di mana a dan θ adalah variabel yang belum ditentukan. Dalam artikel ini, kita akan membahas mengapa jawaban yang benar untuk pertanyaan ini adalah 1.

Pertama-tama, mari kita lihat ekspresi ini dengan lebih cermat. Ekspresi ini terdiri dari dua suku, yaitu \( \frac{1}{a^{2} \theta} \) dan \( \frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} \theta} \). Kita dapat melihat bahwa suku pertama melibatkan variabel a dan θ, sedangkan suku kedua hanya melibatkan θ. Oleh karena itu, kita dapat menganggap suku pertama sebagai suku yang bergantung pada a dan θ, sedangkan suku kedua hanya bergantung pada θ.

Sekarang, mari kita lihat lebih dekat masing-masing suku ini. Suku pertama, \( \frac{1}{a^{2} \theta} \), dapat disederhanakan menjadi \( \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{\theta} \). Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa suku ini akan menjadi tak terhingga ketika a atau θ mendekati nol. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa a dan θ bukan nol, maka suku ini akan memiliki nilai yang terbatas.

Sekarang, mari kita lihat suku kedua, \( \frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} \theta} \). Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan suku ini menjadi \( \sin^{2} \theta \). Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa suku ini akan selalu bernilai positif, karena kuadrat dari sin θ tidak pernah negatif.

Sekarang, mari kita gabungkan kedua suku ini. Karena suku pertama bergantung pada a dan θ, sedangkan suku kedua hanya bergantung pada θ, kita dapat menganggap suku pertama sebagai konstanta dan suku kedua sebagai variabel. Dalam hal ini, kita dapat melihat bahwa ketika suku kedua bernilai positif, penjumlahan dari kedua suku ini akan bernilai lebih besar dari 1. Namun, ketika suku kedua bernilai nol, penjumlahan dari kedua suku ini akan bernilai 1. Oleh karena itu, jawaban yang benar untuk pertanyaan ini adalah 1.

Dalam kesimpulan, ekspresi \( \frac{1}{a^{2} \theta}+\frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} \theta} \) memiliki jawaban yang benar 1. Hal ini dapat dijelaskan dengan melihat sifat-sifat dari masing-masing suku dalam ekspresi ini.