Mencari Nilai Limit dari Persamaan Akar Kuadrat

Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada masalah mencari nilai limit dari suatu persamaan. Salah satu jenis persamaan yang sering muncul adalah persamaan akar kuadrat. Dalam artikel ini, kita akan mencari nilai limit dari persamaan akar kuadrat yang diberikan. Persamaan yang akan kita bahas adalah $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+4x-5}-\sqrt {x^{2}-2x+1}$. Untuk mencari nilai limit dari persamaan ini, kita perlu menggunakan beberapa teknik matematika. Pertama, kita dapat menggunakan aturan limit untuk akar kuadrat. Aturan ini menyatakan bahwa $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+a}=\infty $, di mana $a$ adalah konstanta. Dengan menggunakan aturan ini, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+4x-5}-\sqrt {x^{2}-2x+1}=\infty -\infty $. Namun, $\infty -\infty $ adalah bentuk yang tidak terdefinisi dalam matematika. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan teknik lain untuk menyelesaikan persamaan ini. Salah satu teknik yang dapat kita gunakan adalah teknik konjugat. Teknik konjugat menyatakan bahwa $\sqrt {a}-\sqrt {b}=\frac {(\sqrt {a}-\sqrt {b})(\sqrt {a}+\sqrt {b})}{\sqrt {a}+\sqrt {b}}$. Dengan menggunakan teknik ini, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {(x^{2}+4x-5)-(x^{2}-2x+1)}{\sqrt {x^{2}+4x-5}+\sqrt {x^{2}-2x+1}}$. Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan menghilangkan tanda kurung dan menggabungkan suku-suku yang serupa. Setelah melakukan langkah-langkah tersebut, kita akan mendapatkan persamaan $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {6x-6}{\sqrt {x^{2}+4x-5}+\sqrt {x^{2}-2x+1}}$. Terakhir, kita dapat menggunakan aturan limit untuk pecahan. Aturan ini menyatakan bahwa $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {a}{b}=0$, jika $a$ adalah konstanta dan $b$ adalah fungsi yang tumbuh lebih cepat daripada $x$. Dalam persamaan kita, fungsi $\sqrt {x^{2}+4x-5}+\sqrt {x^{2}-2x+1}$ tumbuh lebih cepat daripada $x$, sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {6x-6}{\sqrt {x^{2}+4x-5}+\sqrt {x^{2}-2x+1}}=0$. Dengan demikian, nilai dari $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+4x-5}-\sqrt {x^{2}-2x+1}$ adalah 0.