Mencari Batas Ketika x Mendekati 1 dari Fungsi \( \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \)

Dalam matematika, kita seringkali dihadapkan pada masalah mencari batas suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Salah satu contoh masalah ini adalah mencari batas ketika \( x \) mendekati 1 dari fungsi \( \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \). Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ini dan melihat bagaimana kita dapat mencari batas tersebut. Pertama-tama, mari kita perhatikan fungsi \( \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \). Ketika \( x \) mendekati 1, kita dapat melihat bahwa baik pembilang dan penyebut fungsi mendekati 0. Namun, jika kita mencoba untuk menggantikan \( x \) dengan 1, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \), yang tidak dapat memberikan kita jawaban yang jelas. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan teknik manipulasi aljabar. Misalkan kita mengalikan dan membagi fungsi dengan ekspresi konjugat dari penyebut, yaitu \( \sqrt{x} + 1 \). Dengan melakukan ini, kita akan mendapatkan bentuk baru dari fungsi yang dapat kita evaluasi. \( \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \times \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \) Sekarang, kita dapat menyederhanakan fungsi menjadi bentuk yang lebih sederhana. \( \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{x-1} = \sqrt{x}+1 \) Sekarang, kita dapat mencari batas ketika \( x \) mendekati 1 dari fungsi \( \sqrt{x}+1 \). Dalam hal ini, kita dapat langsung menggantikan \( x \) dengan 1 dalam fungsi tersebut dan mendapatkan hasilnya. \( \lim _{x \rightarrow 1} (\sqrt{x}+1) = \sqrt{1}+1 = 1+1 = 2 \) Jadi, batas ketika \( x \) mendekati 1 dari fungsi \( \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \) adalah 2. Dalam artikel ini, kita telah melihat bagaimana menggunakan teknik manipulasi aljabar untuk mencari batas suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Melalui contoh kasus fungsi \( \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \), kita dapat melihat bagaimana kita dapat menyederhanakan fungsi dan menemukan batasnya. Semoga artikel ini dapat memberikan pemahaman yang lebih baik tentang konsep ini.