Menentukan Nilai x dalam Persamaan Komposisi

Dalam matematika, persamaan komposisi adalah kombinasi dari dua fungsi yang menghasilkan fungsi baru. Dalam kasus ini, kita diberikan dua fungsi \( f(x) = x^2 - 4 \) dan \( g(x) = 2x - 6 \). Tugas kita adalah menentukan nilai \( x \) ketika nilai dari \( (f \circ g)(x) \) sama dengan -4. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggabungkan kedua fungsi tersebut. Persamaan komposisi \( (f \circ g)(x) \) dapat ditulis sebagai \( f(g(x)) \). Dengan menggantikan \( g(x) \) dengan \( 2x - 6 \), kita dapat menulis persamaan komposisi ini sebagai \( f(2x - 6) \). Selanjutnya, kita perlu mencari nilai \( x \) ketika \( f(2x - 6) = -4 \). Untuk melakukannya, kita perlu menggantikan \( f(x) \) dengan \( x^2 - 4 \) dalam persamaan tersebut. Jadi, kita memiliki \( (2x - 6)^2 - 4 = -4 \). Mari kita selesaikan persamaan ini. Pertama, kita perlu mengkuadratkan \( 2x - 6 \). Dengan melakukan ini, kita mendapatkan \( 4x^2 - 24x + 36 - 4 = -4 \). Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi \( 4x^2 - 24x + 32 = 0 \). Sekarang, kita perlu mencari nilai \( x \) yang memenuhi persamaan ini. Kita dapat menggunakan faktorisasi atau rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini. Namun, dalam kasus ini, persamaan ini tidak dapat difaktorkan dengan mudah. Oleh karena itu, kita akan menggunakan rumus kuadrat. Rumus kuadrat adalah \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), di mana \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah koefisien dalam persamaan kuadrat. Dalam persamaan kita, \( a = 4 \), \( b = -24 \), dan \( c = 32 \). Mari kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat. Kita akan mendapatkan \( x = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(4)(32)}}{2(4)} \). Setelah menyederhanakan ekspresi ini, kita akan mendapatkan \( x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 512}}{8} \). Sekarang, kita perlu menyelesaikan akar kuadrat dalam ekspresi ini. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan \( x = \frac{24 \pm \sqrt{64}}{8} \). Akar kuadrat dari 64 adalah 8, jadi kita dapat menyederhanakan ekspresi ini menjadi \( x = \frac{24 \pm 8}{8} \). Terakhir, kita perlu menyederhanakan ekspresi ini. Kita dapat membagi kedua suku dengan 8, sehingga kita akan mendapatkan \( x = \frac{3 \pm 1}{1} \). Dengan menyederhanakan lebih lanjut, kita akan mendapatkan \( x = 3 \) atau \( x = 2 \). Jadi, nilai \( x \) ketika \( (f \circ g)(x) = -4 \) adalah 3 atau 2. Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D. 3 dan -3.