Menjelajahi Dunia Bilangan Kompleks

1. Jika $j=\sqrt{-1}$, hitunglah $j^{6}$ dan $j^{9}$. Untuk menghitung $j^{6}$ dan $j^{9}$, kita perlu memahami sifat-sifat pangkat pada bilangan kompleks. Kita tahu bahwa $j$ adalah satuan imajiner, yang berarti $j^2 = -1$. Dengan menggunakan sifat ini, kita dapat menghitung pangkat-pangkat yang lebih tinggi dari $j$. $j^{6}$ dapat dihitung dengan mengalikan $j^2$ sebanyak 3 kali. Karena $j^2 = -1$, maka $j^{6} = (-1)^3 = -1$. Demikian pula, $j^{9}$ dapat dihitung dengan mengalikan $j^2$ sebanyak 4 kali dan kemudian mengalikan hasilnya dengan $j$. Karena $j^2 = -1$, maka $j^{9} = (-1)^4 \cdot j = j$. 2. Diketahui bilangan kompleks $z=3-j10$. a. Tuliskan bagian riil dan imajernya! Bagian riil dari bilangan kompleks $z$ adalah 3, sedangkan bagian imajernya adalah -10. Oleh karena itu, $z = 3 - 10j$. b. Tuliskan konjugatnya! Konjugat dari bilangan kompleks $z$ diperoleh dengan mengganti tanda bagian imajernya. Oleh karena itu, konjugat dari $z = 3 - 10j$ adalah $3 + 10j$. 3. Diketahui $z_{1}=5+j4$ dan $z_{2}=3-j$. a. Hitunglah $z_{1}+z_{2}$ dan $z_{1}-z_{2}$. Untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan kompleks, kita perlu menambahkan atau mengurangkan bagian riil dan bagian imajernya secara terpisah. $z_{1}+z_{2} = (5 + 3) + (4 - 1)j = 8 + 3j$ $z_{1}-z_{2} = (5 - 3) + (4 + 1)j = 2 + 5j$ b. Hitunglah $\frac{z_{1}}{z_{2}}$. Untuk membagi bilangan kompleks, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut. Konjugat dari $z_{2} = 3 - j$ adalah $3 + j$. $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(5+j4)(3+j)}{(3-j)(3+j)} = \frac{15 + 5j + 12j + 4j^2}{9 + 3j - 3j - j^2} = \frac{15 + 17j - 4}{9 + 1} = \frac{11 + 17j}{10}$ 4. Nyatakan bilangan kompleks $z=3-j4$ ke bentuk polar dan eksponensial! Untuk mengonversi bilangan kompleks ke bentuk polar, kita perlu menghitung modulus dan argumen bilangan kompleks tersebut. Modulus dari $z = 3 - 4j$ adalah $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ Argumen dari $z = 3 - 4j$ adalah $\arctan\left(\frac{-4}{3}\right) = -53.13^\circ$ Bentuk polar dari $z = 3 - 4j$ adalah $5 \cdot \text{cis}(-53.13^\circ)$ Bentuk eksponensial dari $z = 3 - 4j$ adalah $5 \cdot e^{-j53.13^\circ}$ Dalam artikel ini, kita telah menjelajahi beberapa konsep dasar dalam dunia bilangan kompleks, termasuk perhitungan pangkat, penentuan bagian riil dan imajernya, konjugasi, penjumlahan dan pengurangan, pembagian, serta konversi ke bentuk polar dan eksponensial. Semoga pengetahuan ini dapat membantu Anda dalam memahami dan menguasai konsep-kon