Menguak Keindahan Integral dari \(\int \sin ^{5} x d x\)

Dalam matematika, integral adalah salah satu konsep yang sangat penting. Integral memungkinkan kita untuk menghitung luas di bawah kurva, menemukan nilai rata-rata, dan bahkan memecahkan persamaan diferensial. Salah satu integral yang menarik untuk dieksplorasi adalah \(\int \sin ^{5} x d x\). Untuk memecahkan integral ini, kita dapat menggunakan beberapa teknik. Pertama, kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah bentuk integral menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan identitas \(\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x\) untuk mengubah integral menjadi \(-\int\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2} d(\cos x)\). Setelah kita mengubah bentuk integral, kita dapat menggunakan metode substitusi untuk menyelesaikannya. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan substitusi \(\cos x = u\) sehingga \(d(\cos x) = du\). Dengan substitusi ini, integral menjadi \(-\int\left(1-u^{2}\right)^{2} du\). Selanjutnya, kita dapat menggunakan metode ekspansi binomial untuk menyelesaikan integral ini. Dalam hal ini, kita dapat mengalikan dan menyederhanakan ekspresi \(\left(1-u^{2}\right)^{2}\) menjadi \(1-2u^{2}+u^{4}\). Dengan melakukan ini, integral menjadi \(-\int\left(1-2u^{2}+u^{4}\right) du\). Setelah kita menyederhanakan integral, kita dapat mengintegrasikan setiap suku secara terpisah. Dalam hal ini, kita dapat mengintegrasikan \(1\) menjadi \(u\), \(-2u^{2}\) menjadi \(-\frac{2}{3}u^{3}\), dan \(u^{4}\) menjadi \(\frac{1}{5}u^{5}\). Dengan melakukan ini, integral menjadi \(-\left(u-\frac{2}{3}u^{3}+\frac{1}{5}u^{5}\right) + C\), di mana \(C\) adalah konstanta integrasi. Terakhir, kita dapat mengganti kembali \(u\) dengan \(\cos x\) untuk mendapatkan hasil akhir. Dalam hal ini, hasil akhir dari integral \(\int \sin ^{5} x d x\) adalah \(-\left(\cos x-\frac{2}{3}\cos ^{3} x+\frac{1}{5}\cos ^{5} x\right) + C\). Dalam kesimpulan, integral \(\int \sin ^{5} x d x\) dapat dipecahkan dengan menggunakan identitas trigonometri, metode substitusi, dan metode ekspansi binomial. Hasil akhir dari integral ini adalah \(-\left(\cos x-\frac{2}{3}\cos ^{3} x+\frac{1}{5}\cos ^{5} x\right) + C\).