Mencari Nilai \( f \) agar \( (\mathrm{g}+f(x)=(f+g)(x) \) terpenuhi

Dalam matematika, terdapat berbagai macam fungsi yang dapat digunakan untuk memodelkan hubungan antara dua variabel. Dalam kasus ini, kita memiliki dua fungsi, \( f \) dan \( g \), yang didefinisikan sebagai \( f(x) = 3x + 10 \) dan \( g(x) = 4x + 2k \), di mana \( k \) adalah suatu konstanta yang belum diketahui. Tujuan kita adalah untuk menentukan nilai \( f \) agar persamaan \( (\mathrm{g}+f(x)=(f+g)(x) \) terpenuhi. Untuk mencapai tujuan ini, kita perlu memahami bagaimana operasi penjumlahan dan komposisi fungsi bekerja. Pertama, mari kita lihat operasi penjumlahan antara dua fungsi. Jika kita memiliki dua fungsi \( f \) dan \( g \), maka penjumlahan dari kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai fungsi baru yang menghasilkan jumlah dari nilai fungsi \( f \) dan \( g \) pada setiap titik \( x \). Dalam hal ini, penjumlahan \( (\mathrm{g}+f)(x) \) dapat ditulis sebagai \( g(x) + f(x) \). Selanjutnya, mari kita lihat operasi komposisi fungsi. Jika kita memiliki dua fungsi \( f \) dan \( g \), maka komposisi dari kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai fungsi baru yang menghasilkan nilai fungsi \( f \) dari nilai fungsi \( g \) pada setiap titik \( x \). Dalam hal ini, komposisi \( (f+g)(x) \) dapat ditulis sebagai \( f(g(x)) \). Dengan memahami operasi penjumlahan dan komposisi fungsi, kita dapat menulis persamaan \( (\mathrm{g}+f)(x) = (f+g)(x) \) sebagai \( g(x) + f(x) = f(g(x)) \). Substitusi fungsi \( f(x) = 3x + 10 \) dan \( g(x) = 4x + 2k \) ke dalam persamaan ini akan memberikan kita persamaan baru yang dapat diselesaikan untuk mencari nilai \( f \). Mari kita substitusikan fungsi \( f(x) = 3x + 10 \) dan \( g(x) = 4x + 2k \) ke dalam persamaan \( g(x) + f(x) = f(g(x)) \): \( (4x + 2k) + (3x + 10) = 3(4x + 2k) + 10 \) Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan ini untuk mencari nilai \( f \): \( 7x + 2k + 10 = 12x + 6k + 10 \) \( 7x - 12x = 6k - 2k \) \( -5x = 4k \) \( x = -\frac{4}{5}k \) Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menentukan nilai \( f \) agar persamaan \( (\mathrm{g}+f)(x) = (f+g)(x) \) terpenuhi. Dalam kesimpulan, dengan menggunakan operasi penjumlahan dan komposisi fungsi, kita dapat menentukan nilai \( f \) agar persamaan \( (\mathrm{g}+f)(x) = (f+g)(x) \) terpenuhi. Dalam kasus ini, nilai \( f \) adalah \( -\frac{4}{5}k \).