Buktikan Pernyataan $(A-B)-C=(A-C)-(B-C)$

Pendahuluan: Dalam matematika, kita seringkali dihadapkan pada tugas untuk membuktikan pernyataan tertentu. Dalam artikel ini, kita akan membuktikan pernyataan $(A-B)-C=(A-C)-(B-C)$, di mana A, B, dan C adalah subhimpunan dari himpunan semesta S. Bagian: ① Definisi dan Notasi: Pertama, mari kita definisikan beberapa notasi yang akan kita gunakan dalam pembuktian ini. Misalkan A, B, dan C adalah subhimpunan dari himpunan semesta S. Notasi $(A-B)$ menunjukkan himpunan elemen-elemen yang ada di A tetapi tidak ada di B. Notasi $(A-C)$ menunjukkan himpunan elemen-elemen yang ada di A tetapi tidak ada di C. ② Buktikan $(A-B)-C \subseteq (A-C)-(B-C)$: Untuk membuktikan inklusi ini, kita harus menunjukkan bahwa setiap elemen di $(A-B)-C$ juga ada di $(A-C)-(B-C)$. Mari kita ambil suatu elemen x dari $(A-B)-C$. Ini berarti x ada di A, tidak ada di B, dan tidak ada di C. Karena x ada di A dan tidak ada di C, maka x ada di $(A-C)$. Karena x tidak ada di B dan tidak ada di C, maka x tidak ada di $(B-C)$. Jadi, x ada di $(A-C)-(B-C)$. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa $(A-B)-C \subseteq (A-C)-(B-C)$. ③ Buktikan $(A-C)-(B-C) \subseteq (A-B)-C$: Untuk membuktikan inklusi ini, kita harus menunjukkan bahwa setiap elemen di $(A-C)-(B-C)$ juga ada di $(A-B)-C$. Mari kita ambil suatu elemen y dari $(A-C)-(B-C)$. Ini berarti y ada di $(A-C)$ tetapi tidak ada di $(B-C)$. Karena y ada di $(A-C)$, maka y ada di A dan tidak ada di C. Karena y tidak ada di $(B-C)$, maka y tidak ada di B atau y ada di C. Jika y ada di C, maka y tidak ada di $(A-B)-C$. Jika y tidak ada di B, maka y ada di $(A-B)$. Jadi, y ada di $(A-B)-C$. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa $(A-C)-(B-C) \subseteq (A-B)-C$. Kesimpulan: Dalam artikel ini, kita telah berhasil membuktikan pernyataan $(A-B)-C=(A-C)-(B-C)$. Pembuktian ini melibatkan penggunaan definisi dan notasi yang tepat, serta langkah-langkah logis yang menghubungkan himpunan-himpunan yang terlibat.