Transformasi Linier dalam Matematik

Transformasi linier adalah konsep penting dalam matematika yang digunakan untuk memetakan satu ruang vektor ke ruang vektor lainnya. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa transformasi linier yang umum digunakan dan menentukan mana yang bukan transformasi linier. Transformasi pertama yang akan kita bahas adalah $T(x,y,z)=(2x-y+7z,z,y)$. Untuk memeriksa apakah ini adalah transformasi linier, kita perlu memeriksa dua properti penting: penjumlahan dan perkalian skalar. Pertama, mari kita periksa penjumlahan. Jika kita memiliki dua vektor $(x_1,y_1,z_1)$ dan $(x_2,y_2,z_2)$, maka transformasi linier harus memenuhi $T((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2))=T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2)$. Dalam kasus ini, kita memiliki $T((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2))=T(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+7(z_1+z_2),z_1+z_2,y_1+y_2)$ dan $T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2)=(2x_1-y_1+7z_1,z_1,y_1)+(2x_2-y_2+7z_2,z_2,y_2)=(2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+7(z_1+z_2),z_1+z_2,y_1+y_2)$. Karena kedua sisi persamaan ini sama, kita dapat menyimpulkan bahwa transformasi ini memenuhi properti penjumlahan. Selanjutnya, mari kita periksa perkalian skalar. Jika kita memiliki vektor $(x,y,z)$ dan skalar $c$, maka transformasi linier harus memenuhi $T(c(x,y,z))=cT(x,y,z)$. Dalam kasus ini, kita memiliki $T(c(x,y,z))=T(cx,cy,cz)=(2(cx)-(cy)+7(cz),cz,cy)$ dan $cT(x,y,z)=c(2x-y+7z,z,y)=(2cx-cy+7cz,cz,cy)$. Karena kedua sisi persamaan ini sama, kita dapat menyimpulkan bahwa transformasi ini juga memenuhi properti perkalian skalar. Dengan demikian, transformasi $T(x,y,z)=(2x-y+7z,z,y)$ adalah transformasi linier. Selanjutnya, mari kita lihat transformasi $T(v,w)=(v+w,w-3v)$. Kita dapat menggunakan pendekatan yang sama untuk memeriksa apakah ini adalah transformasi linier. Setelah memeriksa properti penjumlahan dan perkalian skalar, kita dapat menyimpulkan bahwa transformasi ini juga adalah transformasi linier. Namun, transformasi $T(x,y)=(3x,2y)$ bukanlah transformasi linier. Jika kita menggunakan pendekatan yang sama, kita akan menemukan bahwa transformasi ini tidak memenuhi properti penjumlahan. Oleh karena itu, transformasi ini tidak dapat dikategorikan sebagai transformasi linier. Terakhir, transformasi $T(V,W)=(\sin V,V+V)$ juga bukan transformasi linier. Karena transformasi ini melibatkan fungsi trigonometri, properti penjumlahan dan perkalian skalar tidak akan terpenuhi. Dalam kesimpulan, dari empat transformasi yang diberikan, hanya tiga di antaranya adalah transformasi linier. Transformasi $T(x,y)=(3x,2y)$ dan $T(V,W)=(\sin V,V+V)$ bukanlah transformasi linier. Transformasi linier adalah konsep penting dalam matematika dan memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang.