Pendekatan Metode Taylor untuk Menentukan Nilai \( y(0.50) \)

Metode Taylor adalah salah satu metode numerik yang digunakan untuk menentukan nilai fungsi pada suatu titik berdasarkan informasi yang diberikan pada titik lain. Dalam kasus ini, kita ingin menentukan nilai \( y(0.50) \) berdasarkan persamaan diferensial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y \) dengan kondisi awal \( y(0) = 1 \).

Metode Taylor menggunakan pendekatan deret Taylor untuk mengaproksimasi nilai fungsi pada titik yang diinginkan. Pendekatan ini didasarkan pada asumsi bahwa fungsi dapat diwakili oleh deret Taylor yang diperluas. Dalam kasus ini, kita akan menggunakan pendekatan deret Taylor orde 4 dengan interval \( h = 0.25 \) untuk menentukan nilai \( y(0.50) \).

Langkah pertama dalam metode Taylor adalah menentukan turunan fungsi. Dalam kasus ini, kita memiliki \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y \). Dengan menggunakan turunan ini, kita dapat menentukan turunan kedua, ketiga, dan keempat fungsi.

Setelah menentukan turunan fungsi, kita dapat menggunakan rumus deret Taylor untuk mengaproksimasi nilai \( y(0.50) \). Rumus ini diberikan oleh:

\[ y(x+h) = y(x) + h \cdot \frac{dy}{dx} + \frac{h^2}{2!} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{h^3}{3!} \cdot \frac{d^3y}{dx^3} + \frac{h^4}{4!} \cdot \frac{d^4y}{dx^4} \]

Dalam kasus ini, kita akan menggunakan \( x = 0 \), \( h = 0.25 \), dan turunan fungsi yang telah kita tentukan sebelumnya. Dengan menggantikan nilai-nilai ini ke dalam rumus deret Taylor, kita dapat mengaproksimasi nilai \( y(0.50) \).

Setelah menghitung nilai aproksimasi menggunakan metode Taylor, kita dapat membandingkannya dengan nilai sebenarnya. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan solusi eksak dari persamaan diferensial untuk menentukan nilai \( y(0.50) \).

Dengan menggunakan metode Taylor, kita dapat dengan akurat menentukan nilai \( y(0.50) \) dengan menggunakan informasi yang diberikan pada titik awal \( y(0) = 1 \) dan persamaan diferensial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y \). Metode ini memberikan pendekatan yang baik untuk menyelesaikan persamaan diferensial dan dapat digunakan dalam berbagai aplikasi matematika dan ilmu pengetahuan lainnya.