Menggunakan Basis Baku untuk Menentukan $[T]_{\alpha ,\beta }$

Dalam matematika, kita sering menggunakan basis baku untuk menganalisis dan memahami transformasi linear. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana menggunakan basis baku $\alpha$ dan $\beta$ untuk menentukan $[T]_{\alpha ,\beta }$ dari sebuah transformasi linear $T$. Transformasi linear $T$ didefinisikan sebagai $T([\begin{matrix} a\\ b\end{matrix} ])=a+2bx+(3a+4b)x^{2}$, dengan $\alpha =\{ [\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} ],[\begin{matrix} 0\\ 1\end{matrix} ]\}$ dan $\beta =\{ 1,x,x^{2}\}$. Pertama-tama, kita perlu memahami apa itu basis baku. Basis baku adalah himpunan vektor linear independen yang dapat digunakan untuk merepresentasikan setiap vektor dalam ruang vektor. Dalam kasus ini, basis baku $\alpha$ terdiri dari dua vektor $\{ [\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} ],[\begin{matrix} 0\\ 1\end{matrix} ]\}$, yang merupakan basis baku standar untuk ruang vektor dua dimensi. Basis baku $\beta$ terdiri dari tiga vektor $\{ 1,x,x^{2}\}$, yang merupakan basis baku standar untuk ruang polinomial derajat dua. Selanjutnya, kita ingin menentukan matriks transformasi $[T]_{\alpha ,\beta }$. Matriks ini akan memberi tahu kita bagaimana transformasi linear $T$ mempengaruhi setiap vektor dalam basis baku $\alpha$ ketika direpresentasikan dalam basis baku $\beta$. Untuk menentukan matriks ini, kita perlu menghitung $T([\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} ])$, $T([\begin{matrix} 0\\ 1\end{matrix} ])$, $T([\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} ])$, dan $T([\begin{matrix} 0\\ 1\end{matrix} ])$. Setelah menghitung nilai-nilai ini, kita dapat mengatur hasilnya dalam bentuk matriks. Misalnya, jika kita mendapatkan $T([\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} ])=a_{11}+a_{21}x+a_{31}x^{2}$ dan $T([\begin{matrix} 0\\ 1\end{matrix} ])=a_{12}+a_{22}x+a_{32}x^{2}$, maka matriks transformasi $[T]_{\alpha ,\beta }$ akan menjadi: $[T]_{\alpha ,\beta }=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ Dengan menentukan matriks transformasi $[T]_{\alpha ,\beta }$, kita dapat dengan mudah menghitung hasil transformasi linear $T$ pada vektor apa pun dalam ruang vektor. Misalnya, jika kita ingin menghitung $T([\begin{matrix} 2\\ 3\end{matrix} ])$, kita dapat merepresentasikan vektor ini dalam basis baku $\alpha$ sebagai $[\begin{matrix} 2\\ 3\end{matrix} ]_{\alpha}=[\begin{matrix} 2\\ 3\end{matrix} ]_{\alpha}=[2\cdot [\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix} ]+3\cdot [\begin{matrix} 0\\ 1\end{matrix} ]$. Kemudian, kita dapat mengalikan matriks transformasi $[T]_{\alpha ,\beta }$ dengan vektor ini untuk mendapatkan hasil transformasi linear $T([\begin{matrix} 2\\ 3\end{matrix} ])$. Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menggunakan basis baku $\alpha$ dan $\beta$ untuk menentukan $[T]_{\alpha ,\beta }$ dari sebuah transformasi linear $T$. Dengan menentukan matriks transformasi ini, kita dapat dengan