Menentukan Perbandingan Trigonometri Lainnya Jika \( \tan \alpha=\frac{1}{2} \)

Dalam matematika, trigonometri adalah cabang yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Salah satu perbandingan trigonometri yang penting adalah tangen (tan) dari suatu sudut. Dalam artikel ini, kita akan mencari perbandingan trigonometri lainnya jika kita diberikan bahwa \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \). Sebelum kita melangkah lebih jauh, mari kita ingat kembali definisi dari tangen. Tangen dari suatu sudut adalah perbandingan antara panjang sisi yang berlawanan dengan sudut tersebut (disebut sisi berlawanan) dan panjang sisi yang bersebelahan dengan sudut tersebut (disebut sisi bersebelahan). Dalam notasi matematika, tangen dari suatu sudut \(\alpha\) dapat ditulis sebagai \(\tan \alpha\). Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \). Untuk menentukan perbandingan trigonometri lainnya, kita perlu menggunakan definisi dari tangen dan hubungannya dengan perbandingan trigonometri lainnya. Pertama, mari kita cari perbandingan sin dan cos dari sudut \(\alpha\). Kita dapat menggunakan identitas trigonometri dasar yang menghubungkan sin, cos, dan tangen: \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) Dalam kasus ini, kita diberikan bahwa \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \). Dengan menggantikan nilai tangen yang diberikan, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mencari perbandingan sin dan cos: \(\frac{1}{2} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) Kita dapat menyederhanakan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan \(\cos \alpha\): \(\frac{1}{2} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha\) Selanjutnya, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dasar lainnya yang menghubungkan sin dan cos: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) Dengan menggantikan nilai sin yang ditemukan sebelumnya, kita dapat menyelesaikan persamaan ini untuk mencari perbandingan cos: \(\left(\frac{1}{2} \cdot \cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1\) \(\frac{1}{4} \cdot \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) \(\frac{5}{4} \cdot \cos^2 \alpha = 1\) \(\cos^2 \alpha = \frac{4}{5}\) \(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{5}}\) Dalam kasus ini, kita harus memilih tanda positif karena kita diberikan bahwa \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \) dan kita tahu bahwa \(\tan\) adalah positif dalam kuadran pertama. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} \). Sekarang, kita dapat menggunakan perbandingan sin dan cos yang telah kita temukan untuk mencari perbandingan trigonometri lainnya. Berikut adalah perbandingan trigonometri yang dapat kita temukan: \(\sin \alpha = \frac{\sin \alpha}{1} = \frac{\sqrt{\frac{1}{5}}}{1} = \sqrt{\frac{1}{5}}\) \(\cos \alpha = \frac{\cos \alpha}{1} = \frac{\sqrt{\frac{4}{5}}}{1} = \sqrt{\frac{4}{5}}\) \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{\frac{1}{5}}}{\sqrt{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{2}\) Dengan demikian, kita telah berhasil menentukan perbandingan trigonometri lainnya jika kita diberikan bahwa \( \tan \alpha = \frac{1}{2} \).