Pemecahan Persamaan Diferensial Parsial dengan Metode Diferensial

(a) Pemecahan Persamaan Diferensial Parsial dengan Metode Diferensial Persamaan \( V=x^{2}+y^{2}+z^{2} \) dapat disederhanakan dengan menggunakan metode diferensial. Untuk mencari bentuk yang paling sederhana, kita perlu menghitung turunan parsial dari \( V \) terhadap \( x \), \( y \), dan \( z \). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus turunan parsial sebagai berikut: \[ \frac{\partial V}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial V}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial V}{\partial z} = 2z \] Untuk mencari bentuk yang paling sederhana, kita perlu mengalikan setiap turunan parsial dengan variabel yang sesuai: \[ x \frac{\partial V}{\partial x} = 2x^2, \quad y \frac{\partial V}{\partial y} = 2y^2, \quad z \frac{\partial V}{\partial z} = 2z^2 \] Jadi, dalam bentuk yang paling sederhana, persamaan \( V \) dapat ditulis sebagai: \[ x \frac{\partial V}{\partial x} + y \frac{\partial V}{\partial y} + z \frac{\partial V}{\partial z} = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \] (b) Pemecahan Persamaan Diferensial Parsial dengan Metode Diferensial Untuk mencari \( \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \) dan \( \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \) dari persamaan \( z = f(x+a y)+F(x-a y) \), kita perlu menghitung turunan parsial kedua dari \( z \) terhadap \( x \) dan \( y \). Dalam hal ini, kita dapat menggunakan rumus turunan parsial kedua sebagai berikut: \[ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right), \quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) \] Untuk mencari turunan parsial kedua dari \( z \) terhadap \( x \), kita perlu menghitung turunan parsial pertama dari \( z \) terhadap \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(f(x+a y)+F(x-a y)\right) \] Untuk mencari turunan parsial pertama dari \( z \) terhadap \( y \), kita perlu menghitung turunan parsial pertama dari \( z \) terhadap \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(f(x+a y)+F(x-a y)\right) \] Setelah kita mendapatkan turunan parsial pertama dari \( z \) terhadap \( x \) dan \( y \), kita dapat menghitung turunan parsial kedua dari \( z \) terhadap \( x \) dan \( y \): \[ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right), \quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) \] Setelah kita mendapatkan \( \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \) dan \( \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \), kita dapat membuktikan bahwa \( \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = a^{2} \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \). Dengan mengganti turunan parsial kedua yang telah kita hitung sebelumnya, kita dapat membuktikan bahwa: \[ \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = a^{2} \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \] Jadi, dengan menggunakan metode diferensial, kita dapat memecahkan persamaan diferensial parsial dan membuktikan hubungan antara turunan kedua terhadap \( x \) dan \( y \) dari persamaan \( z = f(x+a y)+F(x-a y) \).