Keterkaitan Fungsi Komposisi dalam Matematik

Fungsi komposisi adalah konsep penting dalam matematika yang melibatkan penggabungan dua atau lebih fungsi untuk membentuk fungsi baru. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi beberapa contoh fungsi komposisi dan mencari tahu bagaimana fungsi-fungsi tersebut saling terkait. 1. Diketahui $(f\circ g)(x)=6x^{2}-4x-2$ dan $f(x)=3-2x$. Kita diminta untuk menentukan fungsi $g(x)$ dan fungsi $(g\circ f)(x)$. a. Untuk menentukan fungsi $g(x)$, kita dapat menggunakan konsep fungsi komposisi. Kita tahu bahwa $(f\circ g)(x)=6x^{2}-4x-2$. Dengan menggantikan $f(x)$ dengan $3-2x$, kita dapat menulis persamaan berikut: $(3-2g(x))=6x^{2}-4x-2$ Dari sini, kita dapat menyelesaikan persamaan untuk $g(x)$: $-2g(x)=6x^{2}-4x-5$ $g(x)=\frac{4x+5}{2}$ Jadi, fungsi $g(x)$ adalah $\frac{4x+5}{2}$. b. Untuk menentukan fungsi $(g\circ f)(x)$, kita perlu menggabungkan fungsi $g(x)$ dengan fungsi $f(x)$. Kita tahu bahwa $f(x)=3-2x$ dan $g(x)=\frac{4x+5}{2}$. Dengan menggantikan $x$ dalam $g(x)$ dengan $f(x)$, kita dapat menulis persamaan berikut: $(g\circ f)(x)=\frac{4(3-2x)+5}{2}$ $(g\circ f)(x)=\frac{12-8x+5}{2}$ $(g\circ f)(x)=\frac{-8x+17}{2}$ Jadi, fungsi $(g\circ f)(x)$ adalah $\frac{-8x+17}{2}$. 2. Diketahui $(f\circ g)(x)=x^{2}-2x-3$ dan $g(x)=\frac {1}{x+2}$. Kita diminta untuk menentukan fungsi $f(x)$ dan fungsi $(g\circ f)(x)$. a. Untuk menentukan fungsi $f(x)$, kita dapat menggunakan konsep fungsi komposisi. Kita tahu bahwa $(f\circ g)(x)=x^{2}-2x-3$. Dengan menggantikan $g(x)$ dengan $\frac {1}{x+2}$, kita dapat menulis persamaan berikut: $f(\frac {1}{x+2})=x^{2}-2x-3$ Dari sini, kita dapat menyelesaikan persamaan untuk $f(x)$: $f(\frac {1}{x+2})=(x-3)(x+1)$ $f(x)=(\frac {1}{x+2}-3)(\frac {1}{x+2}+1)$ $f(x)=\frac {-2x^{2}-5x-1}{(x+2)^{2}}$ Jadi, fungsi $f(x)$ adalah $\frac {-2x^{2}-5x-1}{(x+2)^{2}}$. b. Untuk menentukan fungsi $(g\circ f)(x)$, kita perlu menggabungkan fungsi $g(x)$ dengan fungsi $f(x)$. Kita tahu bahwa $f(x)=\frac {-2x^{2}-5x-1}{(x+2)^{2}}$ dan $g(x)=\frac {1}{x+2}$. Dengan menggantikan $x$ dalam $g(x)$ dengan $f(x)$, kita dapat menulis persamaan berikut: $(g\circ f)(x)=\frac {1}{(\frac {-2x^{2}-5x-1}{(x+2)^{2}})+2}$ $(g\circ f)(x)=\frac {1}{\frac {-2x^{2}-5x-1+2(x+2)^{2}}{(x+2)^{2}}}$ $(g\circ f)(x)=\frac {1}{\frac {-2x^{2}-5