Penjumlahan Pecahan dengan Akar Kuadrat

Dalam matematika, kita sering dihadapkan pada perhitungan pecahan dengan akar kuadrat. Salah satu contoh perhitungan yang sering muncul adalah penjumlahan pecahan dengan akar kuadrat. Dalam artikel ini, kita akan membahas bagaimana cara menjumlahkan pecahan dengan akar kuadrat dan mencari hasilnya. Pertanyaan yang diajukan adalah mengenai hasil penjumlahan dari \( \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{4}} \). Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu menggunakan konsep penjumlahan pecahan dengan akar kuadrat. Pertama, mari kita perhatikan pecahan pertama, \( \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{4}} \). Untuk menjumlahkan pecahan ini, kita perlu menghilangkan akar kuadrat di penyebut. Kita dapat melakukan ini dengan mengalikan penyebut dan pembilang dengan konjugat dari penyebut, yaitu \( \sqrt{5}-\sqrt{4} \). Dengan melakukan perkalian ini, kita dapat menyederhanakan pecahan pertama menjadi \( \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})} \). Dalam penyebut, kita dapat menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menyederhanakan menjadi \( \sqrt{5}^2 - \sqrt{4}^2 \), yang sama dengan \( 5 - 4 \), yaitu 1. Sehingga, pecahan pertama menjadi \( \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{1} \), yang dapat disederhanakan menjadi \( 2(\sqrt{5}-\sqrt{4}) \). Selanjutnya, mari kita perhatikan pecahan kedua, \( \frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{4}} \). Kita juga perlu menghilangkan akar kuadrat di penyebut. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan konjugat dari penyebut, yaitu \( \sqrt{5}+\sqrt{4} \). Dengan melakukan perkalian ini, kita dapat menyederhanakan pecahan kedua menjadi \( \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{(\sqrt{5}-\sqrt{4})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \). Dalam penyebut, kita dapat menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk menyederhanakan menjadi \( \sqrt{5}^2 - \sqrt{4}^2 \), yang sama dengan \( 5 - 4 \), yaitu 1. Sehingga, pecahan kedua menjadi \( \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{1} \), yang dapat disederhanakan menjadi \( 3(\sqrt{5}+\sqrt{4}) \). Sekarang, kita dapat menjumlahkan kedua pecahan ini. \( 2(\sqrt{5}-\sqrt{4}) + 3(\sqrt{5}+\sqrt{4}) \). Dalam penjumlahan ini, kita dapat mengelompokkan akar kuadrat yang sama, yaitu \( \sqrt{5} \) dan \( \sqrt{4} \). Sehingga, penjumlahan ini menjadi \( (2+3)\sqrt{5} + (-2+3)\sqrt{4} \), yang dapat disederhanakan menjadi \( 5\sqrt{5} + 1\sqrt{4} \). Jadi, hasil penjumlahan dari \( \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{4}} \) adalah \( 5\sqrt{5} + \sqrt{4} \). Dengan demikian, jawaban yang benar adalah A. \( 5\sqrt{5} + \sqrt{4} \).