Menentukan Panjang Persegi Panjang dengan Luas dan Lebar yang Diberikan

Dalam masalah ini, kita diberikan luas dan lebar sebuah persegi panjang dan diminta untuk menentukan panjangnya dalam bentuk bilangan rasional yang paling sederhana. Langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah mengingat rumus luas persegi panjang, yaitu panjang dikalikan dengan lebar. Dalam kasus ini, luas persegi panjang adalah \( (15+3 \sqrt{2}) \mathrm{cm}^{2} \) dan lebarnya adalah \( (\sqrt{6}-\sqrt{3}) \mathrm{cm} \). Mari kita sebut panjang persegi panjang tersebut sebagai \( p \) cm. Dengan demikian, kita dapat menuliskan persamaan luas sebagai berikut: \( p \times (\sqrt{6}-\sqrt{3}) = (15+3 \sqrt{2}) \) Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu menghilangkan akar kuadrat. Kita dapat melakukannya dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan konjugat dari \( \sqrt{6}-\sqrt{3} \), yaitu \( \sqrt{6}+\sqrt{3} \). Dengan melakukan ini, kita akan menghilangkan akar kuadrat di sebelah kiri persamaan. Setelah mengalikan kedua sisi persamaan dengan \( \sqrt{6}+\sqrt{3} \), kita akan mendapatkan: \( p \times (\sqrt{6}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{6}+\sqrt{3}) = (15+3 \sqrt{2}) \times (\sqrt{6}+\sqrt{3}) \) Sekarang, kita dapat menggunakan rumus perbedaan kuadrat untuk mengalikan kedua sisi persamaan: \( p \times (6-3) = (15 \sqrt{6}+15 \sqrt{3}+3 \sqrt{12}+3 \sqrt{6}) \) Sederhanakan persamaan ini: \( 3p = 15 \sqrt{6}+15 \sqrt{3}+3 \sqrt{12}+3 \sqrt{6} \) Kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan 3 untuk mendapatkan: \( p = 5 \sqrt{6}+5 \sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{6} \) Sebagai langkah terakhir, kita dapat menyederhanakan akar kuadrat dan menggabungkan suku-suku yang serupa: \( p = 5 \sqrt{6}+5 \sqrt{3}+2 \sqrt{3}+ \sqrt{6} \) \( p = 6 \sqrt{6}+7 \sqrt{3} \) Jadi, panjang dari persegi panjang tersebut adalah \( 6 \sqrt{6}+7 \sqrt{3} \) cm.