Menjelajahi Limit Fungsi dengan Teknik Rasionalisasi **

** Dalam dunia matematika, limit fungsi merupakan konsep fundamental yang menggambarkan perilaku suatu fungsi saat variabel bebas mendekati nilai tertentu. Salah satu teknik yang sering digunakan untuk menghitung limit adalah rasionalisasi. Teknik ini melibatkan perkalian dengan bentuk konjugat untuk menghilangkan akar kuadrat dari penyebut atau pembilang, sehingga memudahkan proses penghitungan limit. Pada contoh soal $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+x+5}-\sqrt {x^{2}-2x+3}$, kita dapat menggunakan teknik rasionalisasi untuk menyelesaikannya. Pertama, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk konjugat dari pembilang, yaitu $\sqrt {x^{2}+x+5}+\sqrt {x^{2}-2x+3}$. $$\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+x+5}-\sqrt {x^{2}-2x+3} \cdot \frac{\sqrt {x^{2}+x+5}+\sqrt {x^{2}-2x+3}}{\sqrt {x^{2}+x+5}+\sqrt {x^{2}-2x+3}}$$ Setelah dikalikan, kita peroleh: $$\lim _{x\rightarrow \infty } \frac{(x^{2}+x+5)-(x^{2}-2x+3)}{\sqrt {x^{2}+x+5}+\sqrt {x^{2}-2x+3}}$$ Selanjutnya, kita sederhanakan persamaan tersebut: $$\lim _{x\rightarrow \infty } \frac{3x+2}{\sqrt {x^{2}+x+5}+\sqrt {x^{2}-2x+3}}$$ Untuk menghitung limit saat $x$ mendekati tak hingga, kita bagi pembilang dan penyebut dengan $x$: $$\lim _{x\rightarrow \infty } \frac{3+\frac{2}{x}}{\sqrt {1+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^{2}}}+\sqrt {1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}}$$ Saat $x$ mendekati tak hingga, suku-suku yang mengandung $\frac{1}{x}$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ akan mendekati nol. Sehingga, limitnya menjadi: $$\lim _{x\rightarrow \infty } \frac{3+\frac{2}{x}}{\sqrt {1+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^{2}}}+\sqrt {1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}} = \frac{3}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{3}{2}$$ Jadi, nilai limit dari $\lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt {x^{2}+x+5}-\sqrt {x^{2}-2x+3}$ adalah $\frac{3}{2}$. Teknik rasionalisasi merupakan alat yang ampuh dalam menghitung limit fungsi yang melibatkan akar kuadrat. Dengan memahami konsep ini, kita dapat menyelesaikan berbagai soal limit dengan lebih mudah dan efisien.